2. Четность, нечетность функции.

Поскольку функция не определена при x 0, то данная функция является функцией общего вида.

3. Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат.

Нули функции. Решаем уравнение y(x)=0. Имеем: =0; x=1. Следовательно, исследуемая функция обращается в ноль в единственной точке x=1.

Данная функция непрерывна на всей области допустимых значений.

Точка пересечения с осью Х, точка х=1.

Поскольку функция не определена при х=0, то ее график не пересекается с осью Y.

4. Интервалы знакопостоянства функции.

В области допустимых значений знак функции может меняться в единственной точке х=1. Точка х=1 разбивает область допустимых значений на два интервала (0;1) и (1; ). Определяем знак функции на каждом интервале и результаты сводим в таблицу:

x	(0;1)	(1;+)
y		+

5. Асимптоты графика функции.

5а. Вертикальные асимптоты.

В своей области определения функция непрерывна. Поэтому асимптоты могут быть только на границе области определения.

. Итак, прямая х=0 – это вертикальная асимптота.

5б. Наклонные асимптоты.

. В этом пределе неопределенность вида . Применяем правило Лопиталя: . Поскольку k=0, то :

. (При вычислении предела использовано правило Лопиталя.)

Таким образом уравнение асимптоты при имеет вид

y=0.

6. Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума.

Находим производную:

= .

В области допустимых значений производная не имеет точек разрыва.

Нули производной находим, решая уравнение =0; ; .

Точка разбивает область допустимых значений на два интервала и . Определяем знаки производной на каждом интервале и по знакам производной определяем интервалы возрастания и убывания функции. Результаты сводим в таблицу.

x	(0; )	( ;+)
y	+	
y

В точке производная меняет знак с плюса на минус. Значит, точка является точкой максимума функции. Вычислим значение функции в этой точке. Имеем .

7. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции.

Находим вторую производную

.

В области допустимых значений вторая производная точек разрыва не имеет. Для определения точек, в которых она равна нулю, решаем уравнение =0; ; ; .

Определяем интервалы знакопостоянства второй производной и интервалы выпуклости и вогнутости функции. Результаты сводим в таблицу.

x	(0; )	( ;+)
y		+
y		

Вторая производная меняет знак в точке х= , следовательно, эта точка является точкой перегиба. Вычислим значение функции в этой точке. Имеем .

На основании проведенного исследования строим график функции.

Задача.

Методами дифференциального исчисления провести полное исследование функции и построить ее график: .

Решение.

1. Область определения данной функции – вся числовая ось.