2. Барометрическая формула.

Теперь рассмотрим гидростатику сжимаемой жидкости. Одним из самых интересных примеров является равновесие земной атмосферы. Для этого нам понадобится дифференциальное уравнение, так называемое основное уравнение гидростатики.

Силы, действующие в жидкости, обычно разделяют на массовые (объемные) и поверхностные. Массовая сила пропорциональна массе dm, а с ней и объему dV элемента жидкости, на который она действует. Эту силу можно обозначить как fdV, где f выступает в роли объемной плотности массовой силы. Важнейшими примерами таких сил являются сила тяжести, когда f = ρg и силы инерции (в неинерциальных системах отсчета). К поверхностным силам относятся силы, которым подвергается каждый объем жидкости благодаря касательным и нормальным напряжениям, действующим на его поверхности со стороны окружающих его частей жидкости.

Когда жидкость покоится, в ней действуют только нормальные давления, о которых мы говорили ранее. Выделим в жидкости бесконечно малый объем dV и найдем действующую на него равнодействующую силу давления. У той силы будет три проекции. Сначала рассмотрим проекцию на горизонтальную ось. Выберем объем в виде горизонтального цилиндра с основанием dS и длиной dx.

На основания, как мы уже видели, действуют силы давления p(x)dS и p(x+dx)dS. Мы указали, что давление зависит от координаты x и ее приращения, но эта функция, естественно, может зависеть и от координат y, z, а также от времени. Но при переходе от одного основания к другому эти аргументы не меняются в силу малости выбранного элемента объема, поэтому могут считаться постоянными. На боковую поверхность цилиндра действует сила давления, перпендикулярная оси цилиндра, поэтому в искомую составляющую вклад не дает. Таким образом, горизонтальная проекция силы давления, равна

.

Эта разность является бесконечно малой, поэтому мы можем перейти к дифференциалу функции, .

Тогда для силы получим

.

Видим, что эта сила пропорциональна элементу объема dV, и ее можно обозначить sxdV, где sx – горизонтальная составляющая силы, действующей на единицу объема жидкости, которая возникает из-за изменения нормального давления в пространстве, причем она не зависит от формы рассматриваемого элемента объема. Аналогично можно получить проекции этой силы на две оставшиеся оси. в итоге имеем

, , ,

или .

В состоянии равновесия эта сила должна уравновешиваться массовой силой f, что приводит к уравнению

.

Это уравнение и является основным уравнением гидростатики. Если жидкость находится в поле сил тяжести, то f = ρg. Тогда уравнение гидростатики примет вид

, .

Оба эти уравнения выведены без предположения о несжимаемости жидкости, поэтому воспользуемся ими для рассмотрения равновесия земной атмосферы. Первые два уравнения можно не учитывать, так как они говорят только о том, что давление не зависит от высоты. Оставшееся третье уравнение можно переписать в виде полного дифференциала

.

В этом уравнении две неизвестные функции – давление и плотность. Значит, чтобы найти давление, нам нужно дополнительное условие.

Будем предполагать, что состав атмосферы один и тот же на всем ее протяжении. Если газ не слишком плотный, то можно воспользоваться уравнением состояния, а именно, уравнением Клапейрона

,

где μ – молекулярный вес газа. Исключаем из уравнения гидростатики плотность, получая в итоге

,

Мы заменили неизвестную плотность на неизвестную температуру, но ее уже легче измерить на разных высотах.

Если отсутствуют ветры и воздушные течения, то атмосфера неподвижна и находится в состоянии механического равновесия. Но для полного равновесия необходимо еще тепловое равновесие. А это означает, что температура должна быть одинаковой на протяжении всей атмосферы. Такое состояние газа или жидкости называется изотермическим. Конечно, это идеализация, но тем не менее полученные в такой модели результаты вполне применимы на практике. При T = const наше уравнение легко интегрируется и в результате получаем

.

По этому же закону меняется и плотность изотермической атмосферы

.

Эти два соотношения называются барометрическими формулами. Постоянные интегрирования имеют смысл давления и плотности воздуха на поверхности земли

Движение жидкости. Уравнение Бернулли

Чтобы описать движение жидкости, можно поступить двумя способами. Можно проследить за движением каждой индивидуальной частицы жидкости, то есть указать ее положение и скорость в каждый момент времени. То есть мы будем знать траектории всех частиц. Но можно поступить иначе. Можно проследить, что происходит с течением времени в каждой точке пространства. То есть, можно указать величины и направления скоростей различных частиц жидкости, которые в различные моменты времени проходят через одну и ту же точку пространства. Если рассматривать все возможные точки пространства в какой-то фиксированный момент времени, то при втором способе описания мы получим мгновенную картину распределения скоростей жидкости, так называемое поле скоростей. В каждой точке пространства будет указан вектор скорости той частицы, которая проходит через эту точку в данный момент времени. Можно провести линию, касательная к которой указывает направление скорости частицы жидкости, проходящей в рассматриваемый момент времени через точку касания. Такая линия называется линией тока.

Если поле скоростей и соответствующие ему линии тока не меняются с течением времени, то движение жидкости называется стационарным или установившимся. В противном случае движение называет нестационарным. В первом случае скорость будет функцией только координат, v(r), во втором – функцией координат и времени, v(r, t).2

В случае нестационарного движения линии тока вообще говоря не совпадают траекториями частиц жидкости. траектория указывает путь одной и той же частицы за время ее движения, линия же тока характеризует направление движения бесконечного множества частиц, которые находятся на этой линии в рассматриваемый момент времени. Только при стационарном движении линии тока совпадаю с траекториями частиц. Для д оказательства возьмем траекторию какой-нибудь произвольной частицы.

Пусть A(t₁) – положение этой частицы в момент времени t₁. Возьмем другую частицу B(t₂), которая в момент времени t₂ занимает то же положение, что и частица A в момент времени t₁. Так как движение стационарно, то есть поле скоростей одинаково в каждый момент времени, то через точку A(t₁) частица A пройдет с той же скоростью, что и частица B пройдет через эту же точку в момент времени t₂. Значит, скорость частицы B в рассматриваемой точке направлена по касательной к траектории частицы A. Так как момент времени t₂ можно выбрать произвольно, отсюда следует, что траектория частицы A является также линией тока.

Если взять некоторый произвольный замкнутый контур С и через каждую его точку в один и тот же момент времени провести линию тока, то он и сформируют так называемую трубку тока. Так как скорости частиц жидкости направлены по касательной к линии тока, то при течении жидкость не может пересекать боковую поверхность трубки тока.

Если поперечное сечение трубки тока бесконечно мало, то можно считать, что скорость жидкости одна и та же во всех точках одного и того же поперечного сечения и направлена вдоль оси трубки тока. Масса жидкости, протекающая за время dt через поперечное сечение трубки тока, определяется соотношением

.

где S – площадь нормального поперечного сечения трубки.

В случае стационарного течения масса dm будет одинаковой для всех сечений трубки тока в силу закона сохранения массы или закона ненакопления вещества. Если взять два сечения, площади которых равны S₁ и S₂, то можно записать

.

Если бы это равенство не соблюдалось, то масса жидкости между этими сечениями изменялась бы со временем. А это противоречит закону сохранения массы и условию стационарности движения.

Если жидкость несжимаема, то плотности в обоих сечениях одинаковы, то найденное соотношение принимает вид

,

или .

Такое соотношение справедливо не только для трубки тока, но и для стационарного течения так называемых идеальных жидкостей (жидкостей, в которых не возникает внутренних сил трения) по трубам переменного сечения.

Оно называется условием неразрывности потока: при установившемся течении несжимаемой жидкости через любое сечение ее потока за равные промежутки времени протекает одинаковое количество жидкости.

Из этого соотношения видно, что скорость жидкости в одной и той же трубке тока тем больше, чем меньше ее поперечное сечение.

Уравнение Бернулли.

Изучение движения реальных жидкостей и газов, вообще говоря, представляет собой довольно сложную задачу. Для ее упрощения сначала полностью пренебрегают силами внутреннего трения, считая жидкости идеальными.

Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в каком-либо консервативном силовом поле, например в поле силы тяжести.¹ Применим к этому течению закон сохранения энергии. При этом будем полностью пренебрегать теплообменом, который может происходить между частями жидкости с окружающей средой. Выделим в жидкости бесконечно узкую трубку тока и рассмотрим часть жидкости, занимающую объем MNDC.

Пусть эта часть переместилась в бесконечно близкое положение M₁N₁D₁C₁. Вычислим работу А, совершаемую при этом силами давления. Давление, действующее на боковую поверхность трубки тока, перпендикулярно к перемещению и работы не совершает. При перемещении границы MN в положение M₁N₁ совершается работа A₁ = p₁S₁l₁, где l₁ = MM₁ – величина перемещения. Введя объем ∆₁V = S₁l₁, ее можно представить в виде A₁ = p₁∆₁V или , где — масса жидкости в объеме MNN₁M₁. При перемещении границы CD в положение C₁D₁ жидкость совершает работу против давления Р₂ (или давление Р₂ совершает над жидкостью отрицательную работу). Для нее, рассуждая аналогично, найдем , где — масса жидкости в объеме . Но если движение стационарно, то масса жидкости в объеме M₁N₁DC не изменится, а потому из закона сохранения массы получим . Опуская индексы у , для работы, совершаемой внешним давлением, окончательно находим

Эта работа должна быть равна приращению полной энергии выделенной части жидкости. Ввиду стационарности течения энергия жидкости в объеме M₁N₁DC не изменилась. Поэтому величина равна разности энергий массы жидкости в положениях CDD₁С₁ и MNN₁M₁. Обозначая посредством ε полную энергию, приходящуюся на единицу массы жидкости, находим Приравнивая эту величину работе А и сокращая на , получаем

Отсюда следует, что вдоль одной и той же линии тока при стационарном течении идеальной жидкости величина остается постоянной:

Это соотношение называется уравнением Даниила Бернулли (1700—1782), который впервые опубликовал его в 1738 году. При выводе уравнения Бернулли мы нигде не использовали предположения о несжимаемости жидкости. Поэтому оно справедливо и для сжимаемых жидкостей. Требуется только, чтобы жидкость была идеальной, а течение – стационарным.

Если жидкость несжимаемая, то вся энергия ε складывается из кинетической энергии единицы массы жидкости и ее потенциальной энергии gh в поле тяжести. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид

Подчеркнем, что это постоянство этой величины выполняется только вдоль одной и той же линии тока. Вообще говоря, она может меняться при переходе от одной линии тока к другой. Но могут быть и такие случаи, где постоянная Бернулли одна и та же для всего потока жидкости. Рассмотрим один довольно часто встречающийся частный случай. Допустим, что все линии тока начинаются или оканчиваются в такой области, где жидкость практически находится в состоянии покоя. Возьмем одну из точек линии тока в этой области. Тогда в уравнении Бернулли следует считать v = 0 и мы получим

.

Но во всей области, где жидкость покоится, должно выполняться условие , так как давление в покоящейся жидкости одинаково (при соответствующем введении начала координат направления оси это представляет собой условие равновесия). Поэтому в рассматриваемом случае постоянная Бернулли для всех линий тока будет одинаковой.

Допустим теперь, что тонкая трубка тока имеет переменное поперечное сечение, а ось ее горизонтальна. (Примером может служить горизонтальная труба переменного сечения, по которой течет жидкость). Тогда h — const, и уравнение Бернулли принимает вид

О тсюда видно, что давление больше там, где меньше скорость v, и наоборот. С другой стороны, согласно соотношению , скорость v минимальна там, где максимально сечение трубки. Значит, в широких частях трубки давление максимально, а в узких — минимально. Такой результат является непосредственным следствием второго закона Ньютона. Действительно, когда жидкость из широкой части течет в узкую, то скорость ее возрастает. Значит, ускорение направлено в сторону течения, т.е. на рис. слева направо. Это ускорение сообщается разностью давлений, действующих на рассматриваемую часть жидкости слева и справа. Следовательно, давление слева, т. е. в более широкой части трубки, должно быть больше, чем справа, где трубка уже.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих следствия из уравнения Бернулли.

Пульверизатор.

Возьмем трубку с суживающимся наконечником и будем продувать через нее воздух. Давление воздуха в узкой части наконечника и в выходящей из него струе будет меньше атмосферного.

Поднесем теперь струю воздуха к верхнему концу стеклянной трубки, нижний конец которой погружен в воду, а верхний оканчивается узким наконечником (рис. 2.3, а). Вода в стеклянной трубке будет подниматься, разбрызгиваться и увлекаться струей воздуха. На этом принципе основано устройство пульверизатора.

Рис. 2.3.

Если трубка, по которой продувается воздух, не снабжена узким наконечником, а имеет постоянное поперечное сечение (рис. 2.3, б), то поднятие

Рассмотрим другой пример.

Если два слегка изогнутых листа твердой бумаги подвесить на горизонтальных проволоках (рис. 2.4) и продувать между ними воздух, то они притягиваются друг к другу. Дело в том, что давление воздуха Р между листами в наиболее узком месте

Рис. 2.5.

становится меньше атмосферного Р₀, и наружное атмосферное давление прижимает листы друг к другу. Можно также подвесить на небольшом расстоянии друг от друга две стеклянные колбы. При продувании воздуха между ними колбы начинают стучать, сталкиваясь друг с другом. Притяжение такого же типа наблюдается между двумя кораблями, когда они идут параллельным курсом на небольшом расстоянии друг от друга. Это легко объяснить, если перейти в систему отсчета, в которой корабли покоятся, а вода течет между ними. Описанное явление не раз было причиной столкновения судов и приводило к авариям.

3. Формула Торричелли. Кавитация. Форма струи жидкости

Уравнение Бернулли имеет самое широкое применение на практике. В качестве первого примера рассмотрим стационарное истечение идеальной несжимаемой жидкости из сосуда (рис.2.6). Если полагать, что сосуд достаточно велик, а отверстие мало, то можно считать, что при истечении уровень жидкости не изменяется заметно в течение достаточно продолжительного промежутка времени. Пусть на поверхность жидкости в сосуде действует давление (например, атмосферное). Будем также полагать, что струя вытекает в пространство, где внешнее давление также равно (истечение в атмосферу). Обобщение на различные давления не составляет труда. Проведем некоторую гипотетическую линию тока и выберем на ней две точки: одну на поверхности жидкости в сосуде (точка 1), другую внутри отверстия (точка 2).

Рис.2.6.

Тогда для этой линии тока можно записать уравнение Бернулли: Поскольку поверхность жидкости в сосуде предполагается неподвижной ), из последнего равенства следует: Это соотношение называется формулой Торричелли. Заметим, что такую же скорость приобретает тело, которое падает в пустоте с высоты h. С помощью формулы Торричелли, можно оценить, за какое время жидкость полностью истечет из сосуда.

Задача о вытекании жидкости из сосуда.

Пусть внизу сосуда имеется отверстие площадью S₀, а в самом сосуде начальная высота уровня жидкости равна h₀. Нужно найти зависимость высоты уровня жидкости от времени. За какое время жидкость полностью вытечет из сосуда?

Применим формулу Торричелли для скорости жидкости:

.

Тогда объем жидкости, вытекающий в секунду из сосуда, может быть рассчитан, как

.

Но с другой стороны, объем равен:

.

Таким образом, получаем дифференциальное уравнение:

.

Разделяем переменные и интегрируем:

.

.

Используя начальные условия, получим:

,

,

.

Тогда время, за которое вся жидкость выльется из сосуда, будет равно:

.

Кавитация

Если увеличивать скорость движения жидкости по трубе или, при том же самом расходе жидкости уменьшить самое узкое сечение трубы, то можно в этом сечении получить отрицательное давление. Действительно, из уравнения Бернулли и закона не накопления вещества в сечениях S₁ и S_min трубы можно записать

Из этих уравнений легко получить выражение для минимального давления в самом узком сечении трубы :

Из данного соотношения видно, что если второе слагаемое в правой части по абсолютной величине будет больше, чем , то минимальное давление окажется «отрицательным», т.е. частицы жидкости, проходящее сечение трубы с «отрицательным» давлением будут подвергаться растяжению (такую жидкость называют «растянутой»). Однако, как отмечалось выше, жидкость не может находиться в растянутом состоянии длительное время. Она «вскипит» или, как говорят, сплошность жидкости нарушится в результате выделения пузырьков растворенного в ней газа. Так как при падении давления до «отрицательных» значений в жидкости выделяются пузырьки, заполненные паром жидкости или газом, растворённым в ней, или тем и другим в той или иной концентрации, то возникает так называемое явление кавитации, т.е. явление нарушения сплошности движущейся среды.

Явление кавитации играет очень важную роль в инженерной практике. Дело в том, что пузырьки газа, проходя самое узкое сечение трубы, попадают далее в область более высокого давления и схлопываются. При этом схлопывание пузырька происходит не симметрично, образуется кумулятивная (направленная) струя.

Если такие пузырьки попадают на поверхность тела, то при их схлопывании возникают довольно значительные локальные давления, которые, в свою очередь, приводят к эрозии, т.е. разрушению, материала поверхности. Аналогичные явления возникают при быстром движении тел в жидкости, например, при вращении гребных винтов пароходов или лопаток гидротурбин. При этом так же образуются области «растянутой» жидкости, в которых выделяются пузырьки. Кавитация приводит к чрезвычайно быстрому их износу и выходу из строя и по настоящее время является предметом интенсивного изучения. Практически можно считать, что кавитация возникает тогда, когда в жидкости давление падает до давления насыщенных паров при данной температуре, т.е. когда

Форма струи жидкости

Найдем форму струи жидкости, вытекающей из вертикальной трубы круглого сечения радиуса R. Будем пренебрегать вязкостью жидкости, а так же распределением скорости жидкости по радиусу.

Рис.2.7.

Такое предположение обусловлено тем, что на границе струи и воздуха скорость жидкости не равна нулю, а трением жидкости о воздух можно пренебречь. Тогда запишем уравнения непрерывности и Бернулли для произвольного сечения жидкости:

,

.

Поскольку на внешней границе струи давление должно быть равно атмосферному, то, следовательно, давление по всей длине струи одинаково. Выразим скорость из уравнения непрерывности

.

В результате получим:

.

Таким образом, видим, что радиус струи уменьшается в зависимости от расстояния от входа в нее. Будет ли верна эта зависимость для очень тонких струй? Как мы знаем из опыта, каждая струю на определенной высоте распадается на капли. При этом необходимо будет принимать во внимание поверхностное натяжение жидкости.

4. Вязкость.

В реальных жидкостях, в отличие от упрощенной модели идеальной жидкости, помимо нормальных давлений на границах движущихся элементов действуют еще касательные силы внутреннего трения, или вязкость. Убедиться в существовании таких сил можно на простейших примерах.

Во-первых, из уравнения Бернулли следует, что если жидкость будет стационарно течь по горизонтальной трубе постоянного поперечного сечения, то давление вдоль всей трубы будет постоянным. На самом же деле, чтобы поддерживать течение стационарным, на концах трубы необходимо поддерживать постоянную разность давлений. Это связано с необходимостью компенсировать силы внутреннего трения, возникающие при течении.

В качестве другого примера рассмотрим поведение жидкости во вращающемся сосуде. Если вертикальный цилиндрический сосуд, заполненный жидкостью, привести в равномерное вращение относительно своей оси, то жидкость постепенно тоже придет во вращение. Сначала начинают вращаться слои жидкости, прилегающие к стенкам сосуда. Затем вращение передается внутренним слоям, пока вся жидкость не начнет равномерно вращаться как твердое тело. Пока движение не установилось, происходит непрерывная передача вращения от сосуда к жидкости, и далее от наружных слоев жидкости к внутренним. Такая передача движения или импульса была бы не возможна без касательных сил, действующих между жидкостью и стенкой сосуда, а также между слоями жидкости, вращающимися с различными угловыми скоростями. Эти касательные силы называют силами трения, внутреннего, или вязкого, если они действуют между слоями жидкости, и внешнего, если они действуют между жидкостью и стенками сосуда.

Ч тобы найти количественные законы вязкого трения, рассмотрим простейший пример. Возьмем две параллельные бесконечно длинные пластинки, между которыми находится жидкость. В практическом смысле пластинки можно считать бесконечно длинными, если их длина и ширина много больше расстояния между ними. Пусть нижняя пластинка неподвижна, а верхняя пластинка движется относительно нижней с постоянной скоростью v₀. Чтобы поддерживать движение пластинки постоянным, очевидно, к ней нужно приложить постоянную силу F, направленную в сторону движения. Как мы уже рассматривали в примере с вращающимся сосудом, движение верхней пластинки будет передаваться жидкости, а затем и нижней пластинке. Поэтому, чтобы удержать ее в покое, на нее должна действовать такая же, но противоположно направленная сила. Ньютон экспериментально установил, что величина силы F пропорциональна скорости v₀, площади S пластинки и обратно пропорциональна расстоянию h между пластинками:

.

Здесь η – коэффициент, называемый коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости жидкости. (Посчитать размерность этого коэффициента.) Коэффициент вязкости не зависит от материала пластинок, является характеристикой жидкости и для различных жидкостей имеет различные значения. Для определенной жидкости его значение зависит от параметров, характеризующих ее внутреннее состояние, в первую очередь, от температуры.

Если нижняя пластинка не неподвижна, а обе они движутся равномерно параллельно друг другу, то можно написать более общую формулу

,

где v₁ – скорость движения нижней пластинки, v₂ – верхней. Чтобы убедиться в этом, достаточно перейти в систему отсчета, в которой нижняя пластинка покоится.

Вообще говоря, при равномерном движении верхней пластинки жидкость должна действовать на нее с силой –F, чтобы полная сила, приложенная к пластинке, обращалась в нуль. Сама пластинка, соответственно, действует на жидкость с силой +F. Аналогично и с нижней пластинкой, она будет действовать на жидкость с силой –F. Кроме того, экспериментально установлено, что жидкость, обладающая вязкостью, прилипает к поверхности тела, которое она обтекает. То есть скорости движения частиц жидкости относительно поверхности обтекаемого тела, на которой они находятся, равны нулю. Поэтому в полученной нами формуле силы можно считать приложенными не к пластинкам, а к границам заключенного между ними слоя жидкости, точно так же скорости v₁ и v₂ можно отождествить не с пластинками, а со скоростями движения тех же границ жидкости. Тем самым, для введения понятия коэффициента вязкости надобность в пластинках отпадает.

Чтобы обобщить последнюю формулу, допустим, что жидкость течет вдоль оси x, причем скорость течения зависит только от координаты y:

, .

В ырежем мысленно жидкий слой, ограниченный бесконечно близкими плоскостями, перпендикулярными к оси y. Пусть эти плоскости пересекаю ось y в точках с координатами y и y+dy. Обозначим τ_yx касательную силу, действующую на единицу площади верхней границы такого слоя со стороны вышележащей жидкости. Первый индекс указывает, какой оси перпендикулярна рассматриваемая площадка, то есть направление внешней нормали к этой плоскости, второй индекс указывает направление действия рассматриваемой силы. Тогда можно записать, обобщая полученную ранее формулу, что

.

Такая формула будет справедлива не только для равномерного течения, но и для течения, скорость v_x которого зависит от времени. Очевидно, что на нижней границе выделенного слоя будет действовать касательное напряжение τ_-yx, направленное в противоположную сторону. Оно бесконечно мало отличается от τ_yx ввиду бесконечной малости толщины рассматриваемого слоя. (τ_yx = –τ_-yx).

Р ассмотрим теперь параллелепипед в том же потоке жидкости, ребра которого параллельны координатным осям. Чтобы движение выделенного элемента оставалось параллельным оси, нужно, чтобы момент действующих на него сил был равен нулю. Поэтому на его боковых основаниях, перпендикулярных потоку, также должны действовать касательные напряжения, причем

.

Таким образом, касательные напряжения действуют не только в плоскостях, параллельных течению, но и в плоскостях, перпендикулярных ему.

Допустим теперь, что жидкость течет не параллельным потоком, а произвольным образом. Тогда из всех возникающих касательных и нормальных напряжений мы получим так называемый тензор вязких напряжений. Если мы примем, что касательные составляющие этого тензора зависит только от скоростей в различных слоях жидкости, то есть от первой производной скорости, и не зависит от более высоких порядков производных. В таком приближении касательные напряжения являются линейными однородными функциями производных

.

Если бы из этих шести производных на поверхности рассмотренного нами элемента отлична от нуля была бы только производная , то вдоль оси x действовало бы касательно напряжение . Если бы отличалась от нуля только производная , то касательное напряжение имело бы то же направление и составило бы величину . А если от нуля были бы отличны обе эти производные, то на рассматриваемой границе касательное напряжение имело бы величину . Это следует из предположения о линейной однородной зависимости между касательными напряжениями и изменение скорости движения в потоке жидкости. Также это выражение не будет зависеть от остальных производных. Рассуждая аналогично, можно найти все касательные напряжения, действующие на гранях параллелепипеда:

,

,

.

Р ассмотрим полезный частный случай, когда вязкая жидкость вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω. Линии тока будут имеют форму окружностей. Пусть АВ — бесконечно малый участок линии тока длиной rdφ. Касательное напряжение на цилиндрической поверхности, на которой лежит этот участок, очевидно, направлено в сторону вращения. Его следует обозначить как τ_rφ. Первый индекс r указывает направление внешней нормали к цилиндрической поверхности, второй индекс φ — положительное направление касательного напряжения. В рассматриваемом случае роль dy играет dr, роль dx — длина дуги АВ = rdφ. Поэтому для касательного напряжения получаем

.

В точке А радиальная составляющая скорости v равна нулю. В точке В появляется составляющая скорости вдоль радиуса ОА, равная dv_r = –v_φdφ, так что .

Следовательно, для касательного напряжения получаем

Подставляя сюда , получим

.

Видно, что вязкие напряжения исчезают, если , то есть если жидкость вращается как целое, подобно твердому телу. Можно обратить внимание, что этого бы не получилось, если бы в формуле не было учтено второе слагаемое.

В качестве примера на применение формулы для τ_rφ рассмотрим установившееся движение жидкости между двумя равномерно вращающимися коаксиальными цилиндрами. Пусть l — высота цилиндров, R₁ и R₂ – их радиусы, a Ω₁ и Ω₂ – угловые скорости. Величину l будем предполагать очень большой по сравнению с толщиной зазора R₂ – R₁ между цилиндрами. Тогда цилиндры можно считать бесконечно длинными и отвлечься от осложняющих обстоятельств, вносимых их краями.

Проведем в жидкости произвольную цилиндрическую поверхность радиуса r. Момент сил вязкости, действующих на этой поверхности, относительно оси вращения равен

( ).

При установившемся вращении жидкости этот момент не должен зависеть от радиуса r. Только при этом условии момент сил, действующих на жидкость, заключенную между двумя любыми коаксиальными цилиндрическими поверхностями, обращается в нуль, так как суммарный момент будет определяться интегралом . Таким образом, мы приходим к уравнению

.

Обозначив эту константу как –2A, получим

.

Чтобы определить константы интегрирования, нам нужны граничные условия. Вспомним, что вязкая жидкость прилипает к поверхности обтекаемого тела, следовательно, угловая скорость на поверхностях цилиндра должна совпадать с угловыми скоростями вращения самих цилиндров: , . Подставив эти граничные условия, в итоге получим, что

,

и далее

.

Момент сил вязкости, действующий на внутренний цилиндр, равен

.

Эта формула лежит в основе практического метода измерения коэффициентов вязкости жидкостей и газов. Внутренний цилиндр подвешивается в исследуемой жидкости в вертикальном положении на тонкой нити, а наружный приводится в равномерное вращение с угловой скоростью Ω. Измеряется угол закручивания нити φ, при котором внутренний цилиндр находится в равновесии. Это будет тогда, когда момент вязких напряжений M уравновешивается моментом закрученной нити fφ, где f — модуль кручения, справочная величина для данного материала нити. Коэффициент вязкости рассчитывается по формуле

.