Задание №2

Построить логарифмические линейно-аппроксимированные (линеаризованные) амплитудно-частотную (АЧХ) и фазочастотную (ФЧХ) характеристики системы, передаточную функцию и параметры которой внесены в таблицу 2.1.

Таблица 2.1

Передаточная функция	k	T	T1	T2	T3
	15	0.05	0.5	5	0.5

Решение.

Заданная передаточная функция представляется в виде произведения типовых звеньев:

Коэффициент передачи системы в децибелах по формуле

k[дБ]=20 lg k и сопрягающие частоты звеньев, входящих в систему по формуле: , представлены в виде таблицы 2.2:

Таблица 2.2

Коэффициенты	K [раз]	T	T1	T2	T3
	15	0,05	0,5	5	0,5
Постоянные времени	k [дБ]	ω	ω1	ω2	ω3
	23,5	20	2	0,2	2

В логарифмическом масштабе построим графики входящих в систему «типовых» звеньев. Диапазон частот графика выберем из условия: минимальная частота равна не более одной десятой самой меньшей сопрягающей частоты, а максимальная частота в десять или более раз больше максимальной: от ω₂/10 = 0,02 до ω*10 = 200 Герц. Построим оси и отметим сопрягающие частоты звеньев:

Р исунок 2.1  Логарифмические характеристики типовых радиотехнических звеньев, входящих в исследуемую систему

В нашей системе присутствует одно дифференцирующее звено первого порядка и три инерционных звена.

П остроим АЧХ всех звеньев системы на одном графике, рисунок 2.1, затем «сложим координаты» всех графиков в децибелах, чтобы получилась одна кривая (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2  Суммарная логарифмическая характеристика

исследуемой системы

А налогично поступаем при построении ФЧХ системы (рисунок 2.3 и 2.4).

Рисунок 2.3  Фазовые характеристики входящих в исследуемую

систему типовых звеньев

Рисунок 2.4  Суммарная фазовая характеристика исследуемой системы

Ответ на второе задание (точки перегиба АЧХ и ФЧХ):

АЧХ : 10 дБ, 0.2 Гц; 30 дБ, 2 Гц; 30 дБ, 20 Гц.

ФЧХ: 0^о, 0.02 Гц, –45^о, 0.5 Гц, 0^о, 1 Гц, –90^о, 5 Гц, –45^о, 20 Гц, +45^о, 1200 Гц, 0^о.

Задание №3

Исследовать на устойчивость и определить запасы устойчивости, по заданному в таблице 3.1 параметру, замкнутой системы управления по заданной передаточной функции разомкнутой системы РА, которая находится в таблице 2.1, а параметры и критерий устойчивости приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

k	T	T1	T2	T3	ξ	Критерий	Параметр
15	0.05	0.5	5	0.5	0.5	Гурвица	T

Результат необходимо привести в смешанном виде – текст (устойчива – неустойчива) и число запасов устойчивости по заданному параметру (для критерия Гурвица).

Решение.

Передаточная функция разомкнутой системы РА:

Числитель и знаменатель передаточной функции представим в виде полиномов, для этого раскроем скобки:

отсюда:

a₀=k;

a₁=kT;

a₂=0;

a₃=0.

и аналогично для знаменателя:

B(p)=T₁T₂T₃p³+(T₁T₂+T₁T₃+T₂T₃)p²+(T₁+T₂+T₃)p+1

b₀=1;

b₁= T₁+T₂+T₃;

b₂= T₁T₂+T₁T₃+T₂T₃;

b₃= T₁T₂T₃.

Из таблицы 3.1, подставим коэффициент передачи и постоянные времени:

a₀=15;

a₁=0.75;

a₂=0;

a₃=0.

b₀=1;

b₁= 6;

b₂= 5.25;

b₃= 1.25.

Запишем разомкнутую передаточную функцию:

Для исследования устойчивости системы согласно критерию Гурвица замкнем систему, для этого воспользуемся формулой для замкнутой системы: , отрицательной обратной связью и выделим характеристическое уравнение (знаменатель передаточной функции). Проще говоря, чтобы получить характеристическое уравнение замкнутой системы, имея передаточную функцию разомкнутой, необходимо сложить полиномы числителя и знаменателя разомкнутой передаточной функции. Таким образом, характеристическое уравнение в нашем примере будет:

D(p)=(a₃+b₃)p³+(a₂+b₂)p²+(a₁+b₁)p+a₀+b₀

Подставив полученные ранее коэффициенты, получим:

D(p)=(0+1.25)p³+(0+5.25)p²+(0.75+6)p+15+1,

D(p)=1.25p³+5.25p²+6.75p+16

затем заполним «матрицу Гурвица», порядок которой совпадает с порядком системы (в нашем случае третий), где

D(p)=c₃ p³+c₂ p²+c₁ p+c₀

Для определения устойчивости, согласно критерию Гурвица, необходимо, чтобы все элементы матрицы имели один знак и все главные миноры (определители) матрицы были положительны.

;

;

.

Все определители положительны, следовательно, система устойчива.

Найдем запасы устойчивости по постоянной времени Т, для этого в характеристическое уравнение не надо подставлять значение этого параметра, тогда:

a₁=15T;

Остальные коэффициенты не изменятся, значит:

D(p)=1.25p³+5.25p²+(15Т+6)p +16

заполним «матрицу Гурвица»:

тогда главные определители матрицы:

;

;

T> - 0.146.

;

T> - 0.146.

Начальные неравенства справедливы при T> - 0.146.

Ответ: система устойчива, запас устойчивости по постоянной времени Т, простирается от –0.146 до бесконечности (–0.146, ∞).