2.2 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии

Надежность оценок b_i уравнения регрессии можно охарактеризовать их доверительными интервалами Δb_i, в которых с заданной вероятностью находится истинное значение этого параметра.

Наиболее просто построить доверительные интервалы для параметров линейного уравнения регрессии, т.е. коэффициентов b₀ и b₁. При этом предполагается, что для каждого значения случайной величины x=x_i имеется распре-деление со средним значением и дисперсией . Иными словами, делается допущение, что случайная величина Y распределена нормально при каждом значении , а дисперсия во всем интервале изменения x постоянна: .

Для линейного уравнения среднеквадратичное отклонение i-го коэффициента уравнения регрессии можно определить по закону накопления ошибок.

(2.3)

При условии, что , получим

(2.4)

(2.4а)

и называются соответственно стандартной ошибкой свободного члена и стандартной ошибкой коэффициента регрессии.

Проверка значимости коэффициентов выполняется по критерию Стьюдента. При этом проверяется нуль-гипотеза Н₀: b_i=0, т.е. i-й коэффициент генеральной совокупности при заданном уровне значимости α отличен от нуля.

Построим доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии

(2.5)

где число степеней свободы в критерии Стьюдента определяется по соотношению n-l. Потеря l=k+1 степеней свободы обусловлена тем, что все коэффициенты b_i рассчитываются зависимо друг от друга.

Тогда доверительный интервал для Δb_i коэффициента уравнения регрессии составит (b_i-Δb_i; b_i+Δb_i). Чем уже доверительный интервал, тем с большей уверенностью можно говорить о значимости этого коэффициента.

Необходимо всегда помнить рабочее правило: "Если абсолютная вели-чина коэффициента регрессии больше, чем его доверительный интервал, то этот коэффициент значим".

Таким образом, если |b_i|>|Δb_i|, то b_i коэффициент значим, в противном случае – нет.

Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии, а оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, так как они зависимы.

3 Пример разработки математической модели

В качестве примера рассмотрим разработку математической модели гидравлического режима четырехзонной методической печи с использованием теории планирования эксперимента. При планировании опытов используем методику проведения дробного факторного эксперимента (ДФЭ) первого порядка с двухуровневым варьированием факторов.

Перед разработкой плана эксперимента на основе априорной информации были выявлены факторы, влияющие на величину давления в томильной зоне печи. К числу таких факторов относятся расходы топлива на каждую зону нагрева и угол поворота дымового клапана. Расходы воздуха на каждую зону в качестве факторов не фигурировали, поскольку схема управления горением топлива автоматически меняет расход воздуха при изменении расхода газа.

О бозначим факторы: X₁ — расход газа в томильной зоне, м³/ч; X₂ — расход газа во второй сварочной зоне, м³/ч; X₃ — расход газа в первой сварочной зоне, м³/ч; X₄ — расход газа в нижней сварочной зоне, м³/ч; X₅ — положение дымового клапана, % хода исполнительного механизма (рис.3.1).

Рисунок 3.1 – Положение факторов (Х₁, …, Х₅) и отклика (Y) при проведении исследования на методической печи

Реализация ПФЭ в этом случае при варьировании всех факторов на двух уровнях потребовала бы постановки 2⁵=32 опытов.

Будем предполагать, что эффекты взаимодействия факторов в исследуемом объекте маловероятны и пренебрежимо малы. Воспользуемся 1/4 репликой ПФЭ, т.е. ДФЭ типа 2^5-2, где формально 2 фактора заменены соответствующими произведениями остальных факторов (x₄=x₁ x₂, x₅=x₁ x₂ x₃ ). Это позволит сократить число опытов до 2³=8. Уровни варьирования факторов представлены в табл. 4.

Таблица 4 - Уровни варьирования факторов

Уровни факторов	Факторы
	X1, м3/ч	X2, м3/ч	X3, м3/ч	X4, м3/ч	X5, % хода ИМ
Основной (нулевой)	5250	3900	2650	1100	74
Нижний	4000	3100	1750	700	50
Верхний	6500	4700	3500	1500	98
Интервал варьирования	1250	800	900	400	24

В табл. 5 приведены матрица планирования ДФЭ 2^5-2 и результаты эксперимента — значения выходной переменной (давления в томильной зоне методической печи).

Для обработки результатов эксперимента используем методику, изложенную ранее во втором разделе методических указаний.

1. Расчет построчных средних:

где m* — число повторных опытов (m*=2). Например,

Результаты расчета представлены в табл. 5.

Таблица 5 - Матрица ДФЭ 2^5-2 с двумя параллельными опытами

Факторы (кодированные значения)							Переменная состояния (отклик), кПа						Построчная дисперсия
							Опыт1		Опыт2		Среднее	Модель
X0	X1	X2	X3	X4	X5	Y1		Y2
1	1	1	1	1	1	-2,5		-2,6		-2,55		-2,41	0,005
1	-1	1	1	-1	-1	2,2		2,3		2,25		2,26	0,005
1	1	-1	1	-1	-1	5,1		4,7		4,90		4,74	0,080
1	-1	-1	1	1	1	-1,1		0,5		-0,30		0,08	1,280
1	1	1	-1	1	-1	2,1		2,3		2,20		2,26	0,020
1	-1	1	-1	-1	1	-2,0		-2,4		-2,20		-2,41	0,080
1	1	-1	-1	-1	1	0,0		0,8		0,40		0,08	0,320
1	-1	-1	-1	1	-1	4,2		5,1		4,65		4,74	0,405

2. Определение построчных (выборочных) дисперсий:

Аналогично S₂²=0,005; S₃²=0,08; S₄²=1,28; S₅²=0,02; S₆²=0,08; S₇²=0,32; S₈²=0,405. Сумма построчных (выборочных) дисперсий:

=0,005+0,005+0,08+1,28+0,02+0,08+0,32+0,405=2,195.

3. Определение однородности дисперсий по критерию Кохрена:

Далее по приложению В находим . Для α=0,05, m=m*-1=2-1 и n=8 значение =0,6798. Поскольку , то дисперсии однородны.

4. Определение коэффициентов в уравнении регрессии:

5. Проверка значимости коэффициентов регрессии. Предварительно определим дисперсию воспроизводимости (дисперсию отклика):

Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии

Находим значение доверительного интервала для коэффициентов регрессии:

Здесь m=n(m*-1)=8(2-1)=8, тогда теоретическое значение критерия Стьюдента t_0,05;0,8=2,31 (можно рассчитать, используя функцию электронных таблиц Microsoft Excel СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8)=2,31, откуда Δb_j=2,31⋅0,131=0,303. Из сопоставления доверительного интервала Δb_j с абсолютными значениями коэффициентов модели следует, что |b₁|=0,069<0,303; |b3|=0,094<0,303 и |b₄|=0,169<0,303. Эти коэффициенты оказались незначимы, а остальные значимы. Таким образом, окончательное уравнение регрессии запишется в виде

Результаты расчета выходных параметров по уравнению полученной модели ) занесены в табл. 5.

6. Проверка адекватности полученной модели. Предварительно определим дисперсию адекватности:

В нашем случае m*=2; n=8; l=3, и в результате имеем

С учетом ранее найденной выборочной дисперсии =2,195 определяем дисперсию воспроизводимости:

Экспериментальное значение критерия Фишера следующее:

Теоретическое значение критерия Фишера при α=0,05 можно определить по приложению Б или с помощью встроенной функции электронных таблиц Microsoft Excel FРАСПОБР. Для m₁=(n-l)=(8-3)=5 и m₂=n(m*-1)=8(2-1)=8 значение =3,69 (FРАСПОБР(0,05;5;8)=3,69). Поскольку , то полученная модель адекватна.