2.5. Деревья и лес на графах

Деревом называют конечный связный неориентированный граф, не имеющий циклов (рис. 2.10).

Если дано множество вершин графа a, b, c,…, то дерево можно постро­ить следующим образом. Одну из вершин, например а, примем за начальную и назовем ее корнем дере­ва. Из этой вершины про­ведем ребра в близлежа­щие вершины b, c, d,…, из них ребра в соседние с ними вершины е, f, g, h,… и т. д. Таким образом, дерево можно построить, последовательно добавляя рёбра в его вершинах. Это позволяет установить связь между числом вершин и числом ребер дерева.

Рис. 2. 10. Граф-дерево

Простейшее дерево состоит из двух вершин, соединенных ребром. Дерево на множестве n вершин всегда содержит (n-1) ребер, т. е. минимальное количество ребер, необходимое для того, чтобы граф был связным. Деревья считаются существенно различными, если они не изоморфны.

При добавлении в дерево ребра образуется цикл (штриховая линия на рис. 2. 10), а при удалении хотя бы одного ребра дерево распадается на компоненты, каждая из которой представляет собой также дерево или изолированную вершину.

Несвязный граф, компоненты которого являются деревьями, назы­вается лесом. Лес из К деревьев, содержащий n вершин, имеет точно (n-k) ребер.

До сих пор деревья рассматривались как минимальные связные гра­фы на множестве n вершин. Значение имеет и другая точка зрения, когда деревья и лес являются частями некоторого графf, т.е. образу­ются из его ребер. Если такое дерево - суграф (т.е. содержит все вершины графа), то оно называется покрывающим деревом.

На рис. 2. 11,а показано дерево как честный граф графа G, на рис. 4.13,6 - покрывающее дерево графа G. Так как петля пред­ставляет собой простейший цикл, состоящий из единственного ребра, то она не может входить в состав любого дерева. Покрывающее дерево гра­фа G может быть не единственным.

Рис.2.11.Частичныйграф и покрывающее дерево

Ребра графа, которые принадлежат его дереву, называют ветвями.

Если дерево покрывает граф, то множество ребер графа разбивается на два подмножества: подмножество ветвей и подмножество ребер допол­нения дерева, называемых хордами. При этом связный (p, q ) - граф со­держит (p-1) ветвей и (q-p+1) хорд. Если граф несвязный, то совокупность покрывающих деревьев К его компонент образует покры­вающий лес. В этом случае он содержит (р-К) ветвей и (q-р+K) хорд.

Рассматривают также деревья с ориентированными ребрами (дугами).

Орграф называется деревом, если он связен, не имеет циклов, и единственный путь между вершиной, называемой корнем дерева V₀, и любой другой вершиной графа является направленным путем с началом (или концом) в корне дерева (рис. 2. 12).

Ориентированное дерево называется прадеревом с корнем V₀. Прадерево имеет единственный корень.

Рис. 2. 12. Ориентированные графы-деревья

Деревья играют важную роль в решения различных прикладных задач, когда, например, речь идет о связи каких-либо объектов минимальным числом каналов с определенными свойствами. С помощью дерева опреде­ляется система координат при моделировании цепей и систем различной физической природы. Деревья используются в качестве моделей при рас­смотрении иерархических систем управления объектов, при решении тех­нологических задач и др.