2. 1. Основные понятия и определения

Связи между объектами часто характеризуются вполне определенной ориентацией. Например, на некоторых улицах допускается только одностороннее автомобильное движение, отношения между людьми могут опре­деляться подчиненностью или старшинством и др. Для указания направле­ния связи между вершинами графа, линию произвольной конфигурации от­мечают стрелкой и называют дугой. Стрелка указывает, из какой верши­ны графа дуга исходит и в какую вершину входит.

Граф с ориентированными дугами называется ориентированным гра­фом, или орграфом.

Если пара вершин графа соединяется двумя или большим числом дуг, то такие дуги называются параллельными. Две дуги, одинаково направ­ленные по отношению к данной вершине, называют строго параллельными, а различно направленные - нестрого параллельными.

Рассмотрим граф (рис. 2.2), вершинами которого являются точки a, b, c, d, e, g, h, а дугами - отрезки (a, a), (a, b), (c, d), (c ,e), (d, c), (d, d), (e, d), (g, h).

М

Рис. 2. 2. Общий вид графа

ожно считать, что множество направленных дуг U соединяю­щих элементы множества Х, отображают это множество само в се­бя. Поэтому граф считается задан­ным, если даны множество его вер­шин Х и способ отображения Г множества Х в Х [3].

Таким образом, граф G – пара (Х, Г), состоящая из мно­жества Х и отображения Г, заданного на этом множестве:

Для графа на рис. 2.2 отображение определяется следующим образом:

; ; ; ; ; ; ;

Рассмотрим некоторые понятия и определения, служащие для описа­ния различных видов графов.

Подграфом графа называется граф, в который входит лишь часть вершин графа G, образующих множество А (пунк­тирная область А) вместе с дугами, соединяющими эти вершины: , где , .

Частичным графом по отношению к графу называ­ется граф, содержащий только часть дуг графа G, т.е. определяемый условием , где .

Граф, образованный выделенными дугами (c, b), (c, d), (e, d) на риc. 2.2 - частичный. Например, если - карта шоссейных дорог республики, то карта дорог Луганской области представляет собой подграф, а карта главных дорог республики - частичный граф.

Дуга, соединяющая вершины графа a и b и направленная от a к b, обозначается .

Путем в графе G называют такую последовательность дуг , в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей. Путь может быть задан и последовательностью вершин a, b,…, h тогда он обозначается так:

.

Длиной пути называют число , равное числу дуг, составляющих путь . Каждой дуге можно приписать некоторое число , называемое длиной дуги. Тогда длина пути определяется как сумма длин дуг, составляющих путь:

.

Путь, в котором никакая дуга не встречается дважды, называется простым. Путь, в котором никакая вершина не встречается дважды, назы­вается элементарным.

Контур - это конечный , y которого начальная вершина совпадает с конечной . Контур называется элементар­ным, если все его вершины различны (за исключением начальной и конеч­ной, которые совпадают). Контур единичной длины, образованный дугой вида (а, а) называется петлей. Так, на рис. 2.2 (e, d, c, b) - путь, (c, e, d, c) - контур, (d, d ) - петля.

Если граф рассматривают без учета ориентации дуг, его называют неориентированным графом (рис.2.3).

Для неориентированного графа понятия "дуга", "путь" и "контур" заменяются соответственно понятиями "ребро", "цепь" и "цикл". Ребро - это отрезок, соединяющий две вершины. Цепь - последовательность ребер. Цикл - цепь, у которой начальная и конечная вершины совпадают.

Нестрого параллельные дуги (c, d) и (d, с) орграфа не рис.2.2, отображающие ориентацию связей в обоих направлениях, равноценны неори­ентированной связи и могут быть заменены ребром. Произведя такую заме­ну в орграфе, получим смешанный граф, который содержит ребра и дуги.

Д

Рис.2.3. Неориентированные графы

альнейшее обобщение отображения связей между объектами с помощью градов со­ стоит в приписывании дугам некоторых количественных значений, качественных признаков или характерных свойств, назы­ваемых весами. В простейшем случае это может быть порядковая нумерация дуг, указывающая очередность при их рассмотрении. Вес дуги может означать длину (пути сообщения), пропускную способность (линий связи), сочленения напряжение или ток (электрические цепи), валентность связей (химические формулы), размер или допускаемые отклонения (детали), ха­рактер отношений между людьми и т. п. Вес можно приписывать не только дугам, но и вершинам. Вообще вес вершины означает любую характеристи­ку соответствующего ей объекта.

Графы с заданной числовой функцией только на вершинах, или толь­ко на дугах, или одновременно на дугах и вершинах называются взве­шенными графами.