1 Тема2

Тема 2 .Основы теории графов

Теория графов предоставляет в распоряжение инженера исключитель­но удобный аппарат для моделирования структурных свойств систем и от­ношений между объектами самой разнообразной природы. Благодаря нагляд­ности и простоте этот аппарат в последнее время завоевал широкое при­знание и используется в самых различных областях знаний.

Многие задачи сводятся к рассмотрению совокупности объектов, существенные свойства которых описываются связями между ними. Например, рассматривая карту автомобильных дорог, можно интересоваться только тем, имеются ли связи между некоторыми населенными пунктами, отвлека­ясь от конфигурации и качества дорог, расстояний и других подробностей. Интерес могут представлять различные связи и отношения между людьми, событиями, состояниями и вообще между любыми объектами.

В таких случаях рассматриваемые объекты удобно изображать как некоторое множество точек плоскости Х, называемых вершинами, а связи между ними - линиями (произвольной конфигурации), т.е. множеством от­резков U, соединяющих все или некоторые из вершин. Такие линии свя­зей называет ребрами.

Множество вершин Х, связи между которыми определены множест­вом ребер U, называют графом G и обозначают как отображение, заданное парой множеств .

Первая работа по графам была опубликована в 1736 г. двадцатилет­ним Л. Эйлером. Она содержала решение задачи о кенигсбергских мостах: можно ли совершить прогулку таким образом, чтобы выйдя из любого ме­ста города, вернуться в него, пройдя в точности один раз по каждому мосту? По условию задачи не имеет значения, как проходит путь по ча­стям суши a, b, c, d, поэтому их можно представить вершинами. А так как связи между этими частями осуществляются только через семь мостов, то каждый из них изображается ребром, соединяющим соответ­ствующие вершины. Граф изображен на рис. 2.1. Эйлер дал отрицательный ответ на поставленный вопрос. Более того, он доказал, что подобный маршрут имеется только для такого графа, каждая вершина которого свя­зана с четным числом ребер.

В середине 19 века Кирхгоф применил графы для анализа электрических цепей, а Кэли - для выявления и перечисления изомеров насыщенных углеводородов. Однако как математическая дисциплина теория графов сформировалась только к середине 30-х годов 20 столетия благодаря работам

Д. Кенига, Л. С. Понтрягина, А. А. Зыкова, Б.Г. Визинга и др. Теория графов располагает мощным аппаратом реше­ния прикладных задач из самых раз­личных областей науки и техники [5]. Она тесно связана с такими раздела­ми математики, как теория множеств, теория матриц, математическая логи­ка и теория вероятностей. Графом являются любые блок-схемы программ, имеющие несколько типов вершин. Ду­ги здесь моделируют процесс переда­чи управления.

Рис. 2.1. К задаче о кенигсберских мостах

Криптографические методы защи­ты информации (методы шифровки сооб­щений) также используют грифовые модели. Так, метод путей Гамильтона заключается в том, что символы шиф­руемого текста вписываются в вершины графа по одному пути Гамильтона, а считываются - по другому пути. Теория графов используется при ис­следовании процессов передачи информации, построении контактных схем и исследовании конечных автоматов, сетевом планировании и управлении, исследовании операций, выборе оптимальных маршрутов и потоков в сетях, моделировании жизнедеятельности и нервной системы живых организмов, исследовании случайных процессов и решении многих других задач.