Непрерывность. Точки разрыва.Свойства непрерывных функций

Определение Функция называется непрерывной в точке , если , т.е. .

Для непрерывности в точке используется обозначение .

Теорема. .Если функции и непрерывны в точке , то сумма, разность, произведение и, если , то и частное этих функций - тоже непрерывны в точке .

Теорема (непрерывность сложной функции). Пусть непрерывна в точке , причем . Пусть непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Несколько сложнее теорема о пределе сложной функции.

Теорема . Пусть определена в проколотой окрестности точки a, . Пусть определена в проколотой окрестности точки b и .

Пусть, кроме того, выполняется хотя бы одно из двух условий:

1. непрерывна в точке ;

2. Существует такая , что .

Тогда существует и этот предел равен с.

Примечание . Обычно при вычислении пределов мы используем монотонные замены переменной и условие 2 выполняется.

Примечание . Если не выполняется ни одно из условий, то может оказаться, что предел не существует, либо существует, но не равен с.

Определение. Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что она разрывна в этой точке.

При этом предполагаем, что является точкой из области определения функции.

Точки разрыва делятся на следующие классы.

Определение. Точкой устранимого разрыва называется такая точка , что существует , но . Таким образом, можно переопределить функцию так, чтобы получилась непрерывная функция.

Иногда к точкам устранимого разрыва относят такие точки , что существует , но при этом значение не определено. В этом случае можно доопределить функцию в точке так, чтобы получилась непрерывная функция.

Поясним сказанное примерами:

1. Пусть . Эта функция не определена в точке , но её предел при существует и равен 1. Поэтому можно

доопределить функцию , рассмотрев функцию

По определению, функция – непрерывна в .

2. Пусть

Переопределим функцию в точке , положив .

Получилась непрерывная функция .

И в том, и в другом примере разрыв удалось устранить.

Определение 13.4. Точкой разрыва первого рода называется точка ,

в которой существуют и , причем и существует значение

Например, функция обладает разрывом в точке 0 первого рода.

Замечание. Монотонная в окрестности точки функция имеет и . Поэтому она либо непрерывна в точке a, когда оба эти предела равны друг другу, либо имеет в ней разрыв первого рода, когда эти пределы различные.

Определение. Если хотя бы один из пределов , не существует, или бесконечен, то говорят, что – точка разрыва второго рода.

Непрерывность элементарных функций

1. Непрерывность многочленов

Так как функция у = х непрерывна в любой точке, по теореме о непрерывности произведения непрерывных функций, функция у = х² – непрерывная. Последовательно применяя вышеупомянутую теорему, получаем, что для любого натурального m функция у = x^m – непрерывна. Умножая непрерывные функции e = x, x², a³, …, x^k на постоянные числа с₁, с₂, …, с_k соответственно, получаем, что c₁x, c₂x², …, c_kx^k – непрерывные функции. Сложив c₀ + c₁x + … + c_kx^k получаем непрерывную функцию. Итак, многочлен – непрерывная на всей прямой функция.

2. Непрерывность рациональной функции

По определению, рациональной функцией R(x) называется отношение двух многочленов, P(x) и Q(x), т. е. R(x) = .

Во всех тех точках x₀, где Q(x) ≠ 0, функция R(x) непрерывна по теореме о непрерывности частного. Если же в точке x₀ выполняется равенство Q(x₀) = 0, то в этой точке может быть устранимый разрыв, как например, в точке x₀ = 1 у функции . Кроме того, в этой точке может оказаться разрыв второго рода, как, например, в точке x₀ = 0 у функции .

Для дальнейшего исследования будет полезной следующая теорема.

Теорема. Пусть y = f(x) возрастает (или убывает) на промежутке X, причём множество её значений образует промежуток Y. Тогда f(x) – непрерывная на X функция.

3. Непрерывность показательной функции

Функция y=a^x монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1) и множеством ее значений при xÎ является бесконечный промежуток – множество всех положительных чисел. По доказанной теореме, функция y=a^x непрерывна на всей числовой оси.

4. Непрерывность логарифмической функции

Функция log_ax монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1) и при xÎ(0,+¥) ее множеств значений есть . По доказанной теореме, y=log_ax непрерывна на (0,+¥).

5. Непрерывность функции y=x^m

Функция y=x^m определена при x>0, причем x^m = e^{m ln x}. По доказанному, z = m ln x - непрерывная функция при x>0, функция y = e^z непрерывна при всех z, поэтому, по теореме о непрерывности сложной функции, y = x^m - непрерывная при x>0 функция.

6. Функция y = sin x непрерывна на всей числовой прямой.

7

y

. Функция y= cos x непрерывна на всей числовой прямой.

СИМВОЛЫ , .

Пусть , определены в .

Определение. , , если существует , – б. м. при такая, что .

Определение. , , если существует , – ограниченная в , такая, что .

Примеры.

1. при , т.к. , а ; но

2. , при ∞, т.к. , и при ∞.

Вообще, если и , то и если и ∞ то .

Из свойств бесконечно малых величин следуют такие свойства символов , :

Теорема.Если , , то , ; все соотношения выписаны при .

Теорема. , т.е.

если , то при .

Теорема. , ,

Символы , удобны при вычислении пределов.

ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИИ

Определение. Пусть функция определена на некотором множестве . Если она непрерывна в каждой точке этого множества, то говорят, что она непрерывна на множестве .Иными словами, функция непрерывна на множестве , если для любого числа и любого существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Теорема.(Больцано, Коши) Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует хотя бы одна точка такая, что .

Следствие. Пусть функция непрерывна на отрезке , и пусть ( ). Тогда для любого числа , удовлетворяющего неравенствам ( ), существует точка такая, что .

 Рассмотрим функцию . Она непрерывна на отрезке как разность непрерывной по условию функции и постоянной функции. , поэтому существует точка такая, что , т.е. . 

ОГРАНИЧЕННОСТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИИ

Теорема. (Вейерштрасс) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда она ограничена на этом отрезке.

Замечание. Если функция непрерывна на интервале , то она может быть неограниченной на этом интервале. Например, функция на интервале непрерывна. Однако для любого числа имеет место неравенство , откуда и значение этой функции в точке равно .

Следствие. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существуют точная верхняя грань и точная нижняя грань множества её значений на отрезке .

Теорема.(Вейерштрасс) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существуют такие точки , принадлежащие этому отрезку, что .

Замечание. Часто эту теорему формулируют так:

Непрерывная на отрезке функция принимает свои наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.

Следствие. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда для любого числа , удовлетворяющего неравенствам , существует точка такая, что .

Замечание. Доказанные утверждения означают, что непрерывная на отрезке функция принимает на нём все свои значения, от наименьшего до наибольшего. Разумеется, таким свойством могут обладать не только непрерывные функции. Например, функция принимает все значения от -1 до +1, однако имеет разрыв в точке .

Теорема. Пусть функция непрерывна на промежутке (конечном или бесконечном). Тогда множество её значений также представляет собой промежуток.