Предельный переход в неравенствах

 Теорема . Если функция имеет предел при , равный А и в некоторой проколотой окрестности точки a принимает неотрицательные значения, то .

 Теорема.Если для двух функций и , имеющих пределы, соответственно, и , в некоторой проколотой окрестности выполняется неравенство , то .

Замечание:Эти две теоремы означают, что при переходе к пределу сохраняется нестрогое неравенство.

Замечание: строгое неравенство между функциями может не сохраниться для пределов.

Например, для функций ,  в любой выполняется неравенство , т.е. . Однако,

Теорема. (Теорема о “зажатой” переменной). Если выполняется неравенство , и если , то

Определение. Если , то говорят, что существует предел функции при стремлении х к а справа и обозначают это так: . Аналогично, если , то говорят, что существует предел функции при стремлении х к а слева и обозначают это так: .

Теорема. Функция имеет при предел, равный а, тогда и только тогда, когда он имеет пределы при стремлении х к а справа и слева, причем оба эти пределы равна А.

Замечание. Разумеется, для пределов справа и слева верны все теоремы об арифметических свойствах предела и о предельном переходе в неравенствах.

Ниже приводятся определения бесконечных пределов.

.

.

.

.

.

Предел монотонной ограниченной функции

 Определение. Последовательность называется неубывающей , если для всех n выполняется неравенство . Она называется возрастающей, если выполняется неравенство . Последовательность называется невозрастающей , если для всех n выполняется неравенство . Она называется убывающей, если выполняется неравенство .Общее название всех таких последовательностей – монотонные последовательности.

Определение. Функция , определенная на промежутке называется: неубывающей(возрастающей) на Х, если для всех из неравенства следует неравенство ( ). Она называется невозрастающей(убывающей) на Х, если из следует ( ). Общее название для этих случаев – монотонные на Х функции.

Теорема . (К. Вейерштрасс)

1. Если последовательность не убывает и ограничена сверху, то существует .

2. Если последовательность не возрастает и ограничена снизу, то существует .

Теорема . (К. Вейерштрасс)

1. Если не убывает на и ограничена сверху на , то существует .

2. Если не убывает на и ограничена снизу на , то существует .

3. Если не возрастает на и ограничена сверху, то существует .

4. Если не возрастает на и ограничена снизу, то существует .

Следствие. Если - монотонная на функция, то для любого существуют и .

Критерий коши существования предела последовательности, предела функции

 Определение. Пусть задана последовательность и пусть - возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность подпоследовательность исходной последовательности.

Теорема. Последовательность имеет предел A тогда и только тогда, когда любая её подпоследовательность имеет предел, равный A.

Теорема. (Лемма Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной бесконечной последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу.

Определение. Последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного существует такое , что для всех разность значений по модулю меньше , т.е. .

Теорема . (Критерий Коши для последовательности) Предел последовательности существует тогда и только тогда, когда эта последовательность является фундаментальной.

Теорема . (Критерий Коши для функции) Условие: для любого существует такое , что для любых из разность значений функции в этих точках по абсолютной величине меньше , равносильно тому, что существует предел этой функции при , т.е. . (1)

Определение .( предела функции при по Гейне ). Говорят, что функция имеет при предел , если для любой последовательности такой, что и такой, что для всех выполнено неравенство , предел .

Теорема. Определение предела по Коши, равносильно определению предела по Гейне.