Раздел 2. Предел и непрерывность функций и отображений

• Рассматриваются важные для дальнейшего погятия предельного перехода и непрерывности

• Рассматриваются понятия предела последовательности, предела функции, отображения, непрерывности функции. отображения. Описываются необхъодимые свойства этих понятий

Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины. Арифметические свойства предела

Определение. Если каждому сопоставлено число , то говорят, что задана последовательность

Некоторые последовательности обладают очень важным свойством – они имеют предел.

Определение. Последовательность имеет предел, равный числу A тогда и только тогда, когда для любого существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Удобно записывать это определение с помощью логических символов: .

Для обозначения предела последовательности используется символ: .

Пусть определена в некоторой проколотой окрестности точки а.

Определение. Функция имеет при предел, равный числу А тогда и только тогда, когда для любой окрестности точки А существует проколотая окрестность точки а такая, что , или, равносильно, такая, что для любого . С помощью логических символов это определение записывается так:

Данное определение называется определением предела по Коши.

В этом определении можно вместо произвольной рассматривать при произвольном и, соответственно, вместо - проколотую окрестность . Тогда оно примет вид: .

Вспоминая, что условие равносильно неравенствам , а условие равносильно условию , получаем равносильную запись определения предела на "языке ":

Теорема.

1. Если предел последовательности существует, то он единственен, т.е. если и если , то

2. Если предел функции имеет при существует, то он единственен, т.е. , , то

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если . Аналогично, функция - бесконечно малая при , если .

Теорема. Предел последовательности существует и равен А тогда и только тогда, когда можно представить в виде , где - бесконечно малая последовательность.

Аналогично, тогда и только тогда, когда , где - бесконечно малая при функция.

Определение. Функция называется ограниченной при , если она ограничена в некоторой , т.е. если : .

Теорема. (Свойства бесконечно малых)

1. Если и - бесконечно малые при , то алгебраическая сумма - тоже бесконечно малая при ;

2. Если - бесконечно малая и - ограниченная при , то произведение есть бесконечно малая при ;

3. Если и - бесконечно малые при , то произведение - тоже бесконечно малая при .

Бесконечно малые последовательности обладают вполне аналогичными свойствами:

1. Если и - бесконечно малые последовательности, то алгебраическая сумма - тоже бесконечно малая последовательность;

2. Если - бесконечно малая последовательность, а - ограниченная последовательность (т.е. : ), то - бесконечно малая последовательность;

3. Если и - бесконечно малые последовательности, то произведение - бесконечно малая последовательность.

Теорема (Арифметические свойства предела)

Пусть две функции и , имеют пределы и , соответственно, при . Тогда предел суммы, разности, произведения, и, если , частного этих функций равны соответственно сумме, разности, произведению и частному значения этих пределов, т.е. , если , то .

Аналогично теорема верна и для последовательностей. Если , то , то , а если , то и .