Раздел II. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды

Тема 4. Интегралы.

§ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: пшена переменной, интегрирование по частям.

Литература: [1,гл. II], [2, гл. XIII], (3. гл. IX], [4, §2.1-2.5, стр. 73-82], [5, гл. VIII, §1-8, 10], [7, гл. 6, §1-3).

Упражнения: [5, 1263-1267, 1279-1284, 1291-1296, 1301, 1305 1307, 1309, 1330, 1340, 1362, 1363, 1375-1379, 1383, 1428, 1444],[6, 4.1- 4.5, 4.19-4.22, 4.61-4.65, 4.68-4.72, 4.80, 4.96-4.99, 4,104, 4.105], [7, гл. 6 упр. 1-5,37-40,56-59, 102-105, 107-110, 118, 119, 126].

§ 2. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Литература: [1, гл. 12, §5], [2, гл. XIV, §12, упр. 10], [3, гл. X, §59], [4, § 2.6 - 2.9, стр. 82-88], [5, гл. IX, § 7], [7, гл. 6, § 4].

Упражнения: [5, 1593-1596, 1601], [6,4.117, 4.118, 4.120-4.124, 4.129, 4.130, 4.136], [7, гл. 6 упр. 2S4-257, 268-270].

§ 3. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела вращения. Приближенные методы вычисления определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Литература: [ 1, гл. 12, §6, 8], [2, гл. XV], [3, гл. X, § 58], [4, § 2.10, 2.12, стр. 88-92, 95-97], |5, гл. IX, § 2-3], [7, гл. 6, § 5].

Упражнения: [5, упр. 3625,1653,1654, 1669, 1670], [6,4.138, 4.142 - 4.146, 4.158], [7, гл. 6 упр. 290, 292-294, 219,221, 388,391].

§ 4. Несобственные интегралы. Понятие о кратных интегралах.

Литература:[11, гл. 12, §5], [2, гл. XIV, §12, упр. 10], [3, гл. X, §59], [4, § 2.11, 2.13, стр. 92-95, 97-99], [5, гл. IX, § 7], [ 7, гл. 6, § 6].

Упражнения: [5, упр. 1748, 1752], [6, упр. 4.171], [7, гл. 6 упр. 35 5-3 5 8].

Тема 5. Дифференциальные уравнения

§1. Понятие о дифференциальном уравнении. Примеры торгово-экономических задач, приводящие к дифференциальным уравнениям. Порядок дифференциального уравнения. Семейство решений. Теорема существования и единственности решения (без доказательства). Задача Коши. Геометрическое истолкование решения. Общее и частное решение дифференциального уравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными. Линейное уравнение первого порядка. Возможные случаи понижения порядка дифференциального уравнения (на примере уравнений второго порядка), когда в его записи отсутствуют независимая переменная или искомая функция.

Литература: [1, гл. 13, § 5], [2, гл. XXI, §1-5, 9], [3, гл. XVI, §79], [4, § 2. 14-2:17, стр. 99-108], [5, гл. XII, § 1 -3,7, 10], [7, гл. 14, § 1.1-1.3].

Упражнения: [5, упр. 2051, 2057, 2058, 2061, 2 Н 5, 2116], [6, упр. 5. 14-5.18, 5.21], [7, гл. 6, упр. 1-4, 10-13, 20-23, 43-46].

§ 2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Неоднородные линейные дифференциальные -уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Подбор частных решений при специальном виде правой части.

Литература: [ 1, гл. 14], [2, гл. XXII, § 7, 11 - 13], [3, гл. XVI, §80], [4, § 2.18-2.21, cтp. 108-118], [5, гл. XII, § 8, 9], [7, гл. § 2].

Упражнения: [5, упр. 2184-2187, 2213 -2216, 2218], [6, упр. 5.22, 5.23, 5.25, 5.27, 5.29, 533, 5.37-5.39], [7, гл. 6, упр. 78-79, 84-87, 98-101, 104-106].

Тема 6. Ряды

§ 1. Числовые ряды. Сходимость ряда. Сумма ряда Свойства рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Теорема сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коша. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

Литература: [1, гл. 15], [2, гл. XXI, § 1 - 7], [3, гл. XI], [4, § 2.22-2.26, стр. 118-130], [5, гл. XIV, § 1], [7, гл. 8, § 1-3].

Упражнения: [5, упр. 2422-2424,2432, 2433, 2435, 2437], [6, упр. 6.1,6.15-6.18, 6.24,6.39-6.42], [7, гл. 8, упр. 31-34, 43-48].

§ 2. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена или Тейлора.

Литература: [1, гл. 16, § 1 -5], [2, гл. XXI, § 8 - 12, 14], [3, гл. XIJ, 65 - 68], [4, § 2.27 - 2.29, стр. 130-137], [5, гл. XIV, §3-4], [7, гл. 8. §4].

Упражнения: [5, упр. 2483 - 2486, 2492. 2), 3)], [6, упр. 6.77-6.80, 6.97, 6.1 Н, 6.1 15, 6.98], [7, гл. 8, упр. 103-106, 1 19-122].

§ 3. Использование рядов для приближенных вычислений.

Литература: [ 1, гл. 16, § 6], [2, гл. XXI, § 13], [3, гл. XII, § 69], [4, § 2.29, стр. 137-139], [5, гл. ХГУ, § 5].

Упражнения: [5, упр. 2512, 2518, 2520], [ 6 упр. 6.125-6.127].

ВОПРОСЫ ДЛЯ СДАЧИ ЭКЗАМЕНА (ЗАЧЕТА)

ТЕМА 1.

1. Сформулируйте определение понятия функции. Что называется областью определения функции? Какие функции называются элементарными? Какой вид имеют графики функций , ?.

Укажите области определения и множества значений этих функций. Какие из этих функций являются чётными?

2. При каких условиях число называется пределом функции при стремлении x к числу 2, к -∞, + ∞? Прочитайте формулы , и объясните их смысл.

5. Пределом какой функции при x→0 является число е? Найдите в учебнике значение числа ее двумя знаками после запятой. Как называется и обозначается логарифм числа x по основанию е? Какому числу равен предел ?

7. Какие правила применяются вычислении пределов суммы, разности и отношения двух функций?

8. Как определяется непрерывность функции в точке a?