Фгбоу впо «волгоградский государственный технический университет»

кафедра «Автоматизации производственных процессов»

Конспект лекций

дисциплина: «Электроника»

Часть 2. Цифровые электронные устройства.

Преподаватель _________ Шостенко С.В..

Волгоград 2014 г.

Тема 1. Общие теоретические положения цифровой техники.

План:

1. Аналоговые величины.

2. Дискретные величины.

3. Понятие цифрового устройства.

1.Аналоговые величины

Аналоговый сигнал - сигнал данных, у которого каждый из представляющих параметров описывается функцией времени и непрерывным множеством возможных значений.

Различают два пространства сигналов - пространство L (непрерывные сигналы), и пространство l (L малое) - пространство последовательностей. Пространство l (L малое) есть пространство коэффициентов Фурье (счетного набора чисел, определяющих непрерывную функцию на конечном интервале области определения), пространство L - есть пространство непрерывных по области определения (аналоговых) сигналов. При некоторых условиях, пространство L однозначно отображается в пространство l (например, первые две теоремы дискретизации Котельникова).

Аналоговые сигналы описываются непрерывными функциями времени, поэтому аналоговый сигнал иногда называют непрерывным сигналом. Аналоговым сигналам противопоставляются дискретные (квантованные, цифровые). Примеры непрерывных пространств и соответствующих физических величин:

прямая: электрическое напряжение

окружность: положение ротора, колеса, шестерни, стрелки аналоговых часов, или фаза несущего сигнала

отрезок: положение поршня, рычага управления, жидкостного термометра или электрический сигнал, ограниченный по амплитуде различные многомерные пространства: цвет, квадратурно-модулированный сигнал.

Свойства аналоговых сигналов в значительной мере являются противоположностью свойств квантованных или цифровых сигналов.

Отсутствие чётко отличимых друг от друга дискретных уровней сигнала приводит к невозможности применить для его описания понятие информации в том виде, как она понимается в цифровых технологиях. Содержащееся в одном отсчёте "количество информации" будет ограничено лишь динамическим диапазоном средства измерения.

Отсутствие избыточности. Из непрерывности пространства значений следует, что любая помеха, внесенная в сигнал, неотличима от самого сигнала и, следовательно, исходная амплитуда не может быть восстановлена. В действительности фильтрация возможна, например, частотными методами, если известна какая-либо дополнительная информация о свойствах этого сигнала (в частности, полоса частот).

Применение:

Аналоговые сигналы часто используют для представления непрерывно изменяющихся физических величин. Например, аналоговый электрический сигнал, снимаемый с термопары, несет информацию об изменении температуры, сигнал с микрофона - о быстрых изменениях давления в звуковой волне, и т.п.

2. Дискретные случайные величины.

Рассмотрим случайную величину *  , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2, ..., xn, ... . Пусть задана функцияp(x), значение которой в каждой точке x=xi (i=1,2, ...) равно вероятности того, что величина   примет значение xi

(16)

Такая случайная величина   называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина   принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то

Пример 1. Случайная величина   — число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения   — числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что   примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения ? (Решение) 

Пример 2. Пусть случайная величина   - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p. Множество возможных значений   состоит из 2-х чисел 0 и 1:  =0, если событие A не произошло, и  =1, если событие A произошло. Таким образом,

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину   — число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения   состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m) определяется формулой Бернулли (13'):

Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома  . 

   Пусть случайная величина   может принимать любое целое неотрицательное значение, причем

(17)

 где   — некоторая положительная постоянная. В этом случае говорят, что случайная величина   распределена по закону Пуассона, Заметим, что при k=0 следует положить0!=1. 

Как мы знаем, при больших значениях числа n независимых испытаний вероятность Pn(m) наступления m раз события A удобнее находить не по формуле Бернулли, а по формуле Лапласа. Однако последняя дает большие погрешности при малой вероятности р появления события А в одном испытании. В этом случае для подсчета вероятности Pn(m) удобно пользоваться формулой Пуассона, в которой следует положить  . 

Формулу Пуассона можно получить как предельный случай формулы Бернулли при неограниченном увеличении числа испытаний n и при стремлении к нулю вероятности  . 

Пример 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение) 

Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность Р(k) того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить  .

Если возможные значения случайной величины   образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой

и

 

Значения	x1	x2	...	xn
Вероятности p(xi)	p1	p2	...	pn

Эту таблицу называют рядом распределения случайной величины  . Наглядно функцию р(х) можно изобразить в виде графика. Для этого возьмем прямоугольную систему координат на плоскости. 

По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины  , а по вертикальной оси - значения функции  . График функции р(х)изображен на рис. 2. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения. 

Пример 4. Пусть событие А — появление одного очка при бросании игральной кости; Р(A)=1/6. Рассмотрим случайную величину   — число наступлений события А при десяти бросаниях игральной кости. Значения функции р(х) (закона распределения) приведены в следующей таблице:  

Значения	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Вероятности p(xi)	0,162	0,323	0,291	0,155	0,054	0,013	0,002	0	0	0	0

Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3.