Контрольная работа № 10.

Вариант 5

10.1.5 Для заданной графически функции: а) записать аналитическое выражение функции f(x); б) разложить в тригонометрический ряд Фурье эту функцию; в) построить график суммы S(x) полученного ряда; г) найти S(-), S (+), а также значение S(x) в точках разрыва функции f (x), если они есть.

Решение.

а) Аналитическое выражение функции:

б) f(x) является кусочно-монотонной ограниченной на [-2;2], поэтому она представима в виде суммы ряда Фурье, где = 2.

Таким образом,

в) Функция S(x) определена на всей числовой прямой. Эта функция периодическая с периодом, равным 4. На (-2; 2) S(x) совпадает с f(x). График S(x) изображен на рисунке.

г) сумма данного ряда S(x) в точках x =

S(x) =

S

S(-2) = S(2) =

10.2.5. Заданную на (0,) графически функцию f(x) продолжить на (-,0) чётным и нечётным образом. Полученные функции разложить в тригонометрический ряд Фурье и построить графики их суммы.

Решение.

В данном примере доопределим f(x) на [-4;0) а) нечетным образом, б) четным образом.

В результате получим функции, заданные на отрезке [-4;4], графики которых приведены на рис. а) и б).

а)

б)

В случае а) функция нечетная и на (0,4) её график симметричен относительно прямой х=2.

Поэтому имеем:

В случае а) функция четная и на (0, 4) её график симметричен относительно прямой х=2.

Поэтому

Графики сумм:

а)

б)

10.3.5. Данные функции представить рядом Фурье в комплексной форме. Записать спектральную функцию, амплитудный и фазовый спектры.

Решение.

В нашем случае

1. Ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:

Функция разложима в ряд Фурье:

2) Спектральная функция

Величины - комплексны.

Модуль - является амплитудным спектром, а аргумент - фазовым спектром.

т.к. отсутствует мнимая часть.

Ответ:

10.4.5. Для заданных на (0 , +) функций найти синус- преобразование Фурье или косинус- преобразование Фурье.

Решение.

Вычисляя , получаем

Находим внутренний интеграл

то

10.5.5 Найти преобразование Фурье данной функции

Решение:

Ответ: F(w)= .

10.6.5 Для заданной на функции , , найти синус – преобразование Фурье или косинус – преобразование Фурье.

Решение:

Имеем: Этот интеграл удовлетворяет условиям теоремы о дифференцировании по параметру. Находим,

Получим,

Интегрируем

Поскольку F_c(0)=0, то c=0 и F_c(w)=

Интегрируем по частям интегралы

10.7.5.

В задачах а) и б) найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего заданному уравнению. При проверке ответа множитель опускать.

Рациональное изображение вводить в виде отношения полиномов относительно , сократив при этом общие множители числителя и знаменателя, если они имеются. В задаче в) найти оригинал по заданному изображению, применяя теоремы запаздывания и смещения. Ответ записать в форме

Решение.

А) представим функцию 2 в виде:

Известно, что по теореме о смещении получим:

По теореме линейности изображение будет иметь вид:

Ответ:

Б) Теорема запаздывания применяется тогда, когда оригинал на разных участках задается разными выражениями:

По формуле Находим,

Тогда, с учетом теоремы об интегрировании оригиналов,

Ответ:

В)

Найти f(t)

Из теорем смещения и запаздывания следует, что

Ответ:

10.8.5.Найти изображение кусочно-линейной функции, заданной графически. Ответ записать в виде . При проверке ответа ввести последовательность пар чисел включая и нулевые значения.

F(t)

1

0 1 2 3 t

Решение.

Аналитически этот оригинал может быть записан в виде:

Видим, что

По формулам Находим,

Изображение данного оригинала находится по формуле

Ответ:

10.9.5 Найти оригинал по заданному изображению. Оригинал записать в вещественной форме.

Решение.

получим

Т.к.

Ответ:

10.10.5 Операторным методом найти решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Решение.

Следовательно,

Разлагаем полученную дробь на элементарные дроби

Решение заданного уравнения может быть представлено уравнением:

Ответ:

10.11.5.Применяя интеграл Дюамеля, найти решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям

Решение.

Сначала решаем операционным способом уравнение:

Разлагая эту дробь на элементарные, получаем:

По формуле находим