5. Содержание обязательного минимума образования по математике в начальной школе

На сегодняшний день по заданию Национального фонда подго­товки кадров разработан проект «Требований к уровню подготовки выпускников» и «Обязательного минимума содержания образова­тельных программ» начального, основного и полного среднего обра­зования. Эти документы являются основой создания государствен­ных образовательных стандартов общего среднего образования.

«Требования к уровню подготовки выпускников» являются ос­новным элементом образовательных стандартов. Они устанавли­вают уровень подготовки выпускников, реально достижимый, по мнению авторского коллектива, в практике массового обучения и обеспечивающий права и возможности обучающихся на по­лучение полноценного и качественного общего образования.

«Обязательный минимум содержания образовательных прог­рамм» задает перечень дидактических единиц содержания образо­вания, которые подлежат обязательному изучению в начальной, основной и полной средней школе.

В документе отмечается, что «при отборе содержания образо­вания авторы проекта прежде всего следовали традиции, повинуясь императивному лозунгу "не навреди!". Тем не менее содержание обучения в проекте было подвергнуто определенной модернизации, отвечающей стратегическим направлениям развития отечествен­ной системы образования».

«Главным направлением модернизации стало восстановление педагогически и психологически обоснованной структуры содер­жания образования, позволяющей преодолеть узко «знаниевую» парадигму, реализуемую в сегодняшней школе. С этой целью осу­ществлена достаточно серьезная разгрузка обязательного содержа­ния путем исключения вопросов, не имеющих общеобразователь­ного значения, и переноса сложного технического материала в про­фильное обучение. Тем самым создаются условия для повышения качества образования за счет высвобождения учебного времени для отработки учебных и практических умений, освоения опыта эмо­циональной и творческой деятельности»⁵.

Отметим, что ни сам документ, ни сопутствующие ему публи­кации не содержат конкретной ссылки или представления упомя­нутой педагогической и психологической теории обоснования струк­туры содержания образования. Таким образом, представленное в основном государственном документе обоснование построения структуры содержания образования, носит действительно чисто императивный характер на уровне «здравого смысла».

Общеизве­стно, что никакой единой теории обоснования структуры содержа­ния ни в педагогической, ни в психологической науке на сегодня не существует. Можно сказать, что «принципиальная особенность и трудность педагогической практики, которая существовала все­гда и остается в силе до сегодняшнего дня, состоит в том, что объ­ективные законы психического развития, на которые она могла бы опереться, до сих пор еще не известны. Педагогическая практика все еще в основном базируется, как медицина античности и средних веков, на интуитивных прозрениях, искусстве и эмпирическом опы­те ее выдающихся представителей»⁶. Там же далее отмечается, что «пока знаний было не так много, можно было как-то выходить из положения за счет эмпирического нащупывания лучших способов их подачи или просто за счет увеличения времени, которое идет на усвоение». Именно это в свое время привело к очередной замене трехлетнего начального образования на четырехлетнее в начале 1990-х годов. «Но когда объем знаний возрастает, оба эти источни­ка все больше теряют свою значимость»⁷. Поэтому, несмотря на сохранение четырехлетнего срока обучения в начальной школе, ав­торы рассматриваемого проекта вынуждены были пойти по пути «разгрузки обязательного содержания», что особенно сказалось на содержании математического образования.

В цитируемой монографии доктора психологических наук, про­фессора РАО Н.И. Чуприковой в связи с этим резюмируется не­обходимость и крайняя значимость разработки именно психологических теорий обоснования как структуры содержания, так и технологий обучения для различных возрастных категорий обучаемых. В рассматриваемом же документе ссылка на эту несу­ществующую теорию является главным обоснованием (наряду с признанием в следовании традициям) построения структуры и перечня дидактических единиц содержания образования. Приводим содержание документа:

МАТЕМАТИКА

Требования к уровню подготовки выпускников

Изучение математики должно предоставить учащимся возможность:

ф получить представление о натуральном числе и нуле, понять особенности натурального ряда чисел, научиться записывать и прочитывать натураль­ные числа в десятичной системе счисления;

ф научиться выполнять устно и письменно вычисления с натуральными чис­лами (в пределах миллиона): сложение, вычитание, умножение, деление, деление с остатком;

ф получить представление о свойствах операций над натуральными числа­ми, взаимосвязи между операциями; научиться находить неизвестный ком­понент арифметического действия;

ф усвоить смысл отношений «больше на», «меньше на», «больше в», «меньше в» и их связь с арифметическими действиями; изображать на схемах отно­шения и использовать их при решении текстовых задач;

ф усвоить правила порядка выполнения действий в числовых выражениях, научиться записывать решение текстовой задачи в виде выражения и по действиям; научиться составлять простые описания последовательности (алгоритм) действий;

ф осознать геометрические формы как образы предметов окружающего ми­ра; познакомиться с плоскими геометрическими фигурами (точка, прямая и кривая линии, отрезок, угол, многоугольник, окружность, круг), простей­шими пространственными фигурами (куб, шар) и некоторыми их свойст­вами; научиться изображать геометрические фигуры на клетчатой бумаге;

ф получить представление о величинах (длине, площади, массе, времени) и их измерении; усвоить единицы величин и соотношения между ними; научиться складывать и вычитать величины, умножать и делить величину на число;

ф приобрести опыт измерения и вычисления длин отрезков и периметров мно­гоугольников, научиться строить отрезок заданной длины, вычислять пло­щадь прямоугольника;

4* получить представление о зависимостях между величинами, характеризую­щими процессы движения, работы, «купли-продажи» и др.; научиться решать несложные текстовые задачи, используя знания об этих зависимостях;

4» получить представление о высказывании, научиться строить логические рас­суждения, выполнять мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение, классификацию и др.).

Обязательный минимум содержания образования

Счет. Единицы счета. Натуральные числа от 1 до 1 000 000. Число и цифра нуль. Запись и названия чисел. Сравнение чисел. Знаки = >, <

Сложение чисел: слагаемые, сумма, знак сложения. Таблица сложения. Вычитание чисел: уменьшаемое, вычитаемое, разность, знак вычитания. Связь вычитания со сложением. Умножение чисел: множители, произведение, знак умножения. Таблица умножения. Деление чисел: делимое, делитель, частное, знаки деления. Связь деления с умножением. Действия с нулем.

Порядок выполнения действий в числовых выражениях. Скобки.

Перестановка слагаемых в сумме. Группировка множителей в произведе­нии. Умножение суммы на число. Умножение числа на сумму.

Устные и письменные вычисления с натуральными числами.

Нахождение неизвестного компонента арифметических действий.

Точка. Линии: прямые, кривые. Отрезок. Угол. Прямой угол. Многоуголь­ники: треугольник, прямоугольник, квадрат. Вершины и стороны многоуголь­ника. Окружность и круг. Куб. Шар.

Измерение длин. Метр, сантиметр, миллиметр, километр.

Измерение площади. Квадратный сантиметр, квадратный метр. Вычисле­ние площади прямоугольника.

Измерение времени. Секунда. Минута. Час. Сутки. Неделя. Месяц. Год. Век.

Измерение массы. Грамм, килограмм, тонна. Литр.

Решение текстовых задач с использованием отношений «больше на», «мень­ше на», «больше в», «меньше в» и зависимостей между величинами.

Анализ текста цитируемого документа показывает действитель­ное значительное сокращение привычного даже для традиционных учебников математики для начальных классов содержания. Напри­мер, даже не упоминаются темы «Уравнения» и «Дроби». Посколь­ку данный перечень будет являться основой для разработки го­сударственных стандартов, это означает, что задания, связанные с решением уравнений, нахождением долей и дробей чисел и ве­личин, могут считаться лишь дополнительными при составлении контрольных срезов знаний. Упомянуты лишь несложные тексто­вые задачи, что можно трактовать как то, что в обязательный ми­нимум входят лишь простые задачи.

Любой из существующих ныне учебников математики для начальной школы, содержит намного более длинный перечень ди­дактических единиц по математике. Однако в случае принятия дан­ного проекта в качестве действующей нормы, это даст возможность учителю опускать значительную часть материала учебников или давать ее как необязательную.

В случае принятия этого документа в качестве нормативного возникает проблема очередной разработки новых учебников по ма­тематике для 5—6 классов, поскольку сегодняшние учебники (включая написанные за последнее пятилетие) рассчитаны на значительно больший объем знаний выпускников начальной шко­лы, чем это оговорено рассматриваемым документом.

Рассмотрим распределение программного материала по годам обучения в пяти системах обучения для начальных классов, рекомен­дованных Министерством образования и науки РФ для обучения в 12-летней школе (четыре года обучения в начальной школе).

Распределение программного материала по математике в системе Л. В. Занкова

В системе Л.В. Занкова для четырехлетней системы обучения использовались учебники И.И. Аргинской для трехлетней школы. Учитель самостоятельно распределял материал на более длитель­ный срок обучения детей. Дополнительно к этим учебникам имеют­ся тетради на печатной основе авторов Е.П. Бененсон и Л.С. Итиной.

Для четырехлетней начальной школы на сегодня существует комплект «учебник—тетрадь» для 1 класса вместо учебника — четыре тетради на печатной основе тех же авторов. Для 2 и 3 клас­сов — учебник авторов И.И. Аргинской, Е.И. Ивановской и для 4 класса разрабатывается учебник этих же авторов (Самара, 2001).

Приведем ориентировочное программное распределение тем в этих пособиях, составленное на основе анализа этих учебников, сборника «Программы для начальных классов 1—3 по системе Л.В. Занкова» (М., 1998) и статьи И.И. Аргинской «Математика в системе общего развития» (Начальная школа: плюс — минус. 2000, № 4).

/ класс

Сравнение множеств. Взаимно-однозначное соответствие элементов. Знаки Сравнения. Число как характеристика класса эквивалентных множеств. Число и цифра. Сравнение чисел.

Нумерация в пределах 100. Разрядный состав. Сложение и вычитание в пре­делах 10 и в пределах 20 (с переходом через десяток). Правила порядка выпол­нения действий в выражениях без скобок и со скобками. Переместительное и сочетательное свойства сложения.

Числовые равенства и неравенства. Верные и неверные равенства.

Уравнения (в том числе вида х + 3 - 12, 17 - х = 9). Правила взаимосвязи компонентов сложения и вычитания.

Точка. Отрезок. Прямая, ломаная, кривая. Замкнутые и незамкнутые кривые и ломаные. Луч. Углы (прямой, тупой, острый). Их буквенное обозначение.

Длина отрезка. Сумма и разность отрезков. Многоугольники: треугольник, пря­моугольник, квадрат, ромб. Треугольники равносторонние, разносторонние, равнобедренные.

Меры длины: сантиметр (см).

Знакомство с задачей в 1 классе не предполагается.

(Составлено по содержанию учебника-тет­ради — в4ч. Самара, 1999.)

2 класс

Нумерация в пределах 100. Сложение и вычитание в пределах 100. Умно­жение и деление. Таблицы умножения и деления в пределах 100. Особые случаи умножения и деления (с 0 и 1). Все случаи порядка выполнения действий (в выражениях без скобок с действиями одной и разных ступеней, со скобками и действиями всех видов). Уравнения с умножением и делением. Взаимосвязь компонентов действий умножения и деления. Деление с остатком.

Трехзначные числа.

Уравнения вида (а + Ь) + х = с + е и др. Неравенства вида а + х> b, х- а<b и т. п. Системы простых неравенств.

Длина отрезка. Длина ломаной. Многоугольники. Четырехугольники, пря­моугольники. Периметр многоугольника. Прямоугольные и равнобедренные треугольники. Ромб.

Объемные тела: призма, пирамида, конус, цилиндр, шар. Основание, ребро, грань, вершина многогранника.

Масса: килограмм (кг). Сложение и вычитание масс.

Емкость: литр (л).

Время и его единицы измерения: сутки, неделя, год. Час и минута. Часы. Календарь.

Меры длины: сантиметр (см), метр (м), дециметр (дм), миллиметр (мм).

Умножение и деление величин на натуральное число.

Знакомство с задачей. Простые и составные задачи на все действия.

3 класс

Нумерация в пределах 1000.

Вычисления в пределах 1000: сложение и вычитание трехзначных чисел.

Разряды и классы: многозначные числа.

Внетабличное умножение и деление. Умножение и деление многозначных чисел на однозначное число.

Выражения с большим количеством действий и скобок. Неравенства вида х - 4 > 6, х: 2 < 10 и т. п. Системы простых неравенств.

Римская нумерация.

Уравнения (в том числе вида (31 + х) - 18 - 23).

Дроби: сравнение дробей, сложение и вычитание дробей с одинаковыми зна­менателями. Приведение к общему знаменателю. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби. Смешанные числа. Неправильные дроби.

Числовой луч. Координаты точки на числовом луче. Координаты целых и дробных чисел.

Углы и их градусная мера. Сложение и вычитание углов. Окружность, дуга и радиус окружности. Свойство диаметра.

Изображения объемных тел на плоскости. Проекции объемных тел. Раз­вертки многогранников. Проекции многогранников.

Площадь прямоугольника. Меры площади: см², мм², км², дм², м². Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Длина: километр (км), миллиметр (мм). Масштаб.

Масса: тонна (т), центнер (ц).

Простые и составные задачи на все действия.

4 класс

Нумерация многозначных чисел: разряды и классы. Действия с много­значными числами. Выражения с большим количеством действий и скобок.

Класс миллионов.

Точные и приближенные числа. Правило округления. Погрешность изме­рений.

Дроби: основное свойство дроби. Сложение и вычитание дробей с одинако­выми и разными знаменателями. Умножение и деление дроби на натуральное число.

Положительные и отрицательные числа: запись, изображение на числовой прямой, сравнение. Координаты точки на числовой прямой.

Действия с именованными числами, содержащие несколько действий (3— 6 действий).

Уравнения и неравенства разной степени трудности (в том числе с дробя­ми, содержащих неизвестное в обеих частях и др.).

Степень: возведение в степень, основание степени, показатель степени. Таб­лицы степеней некоторых чисел.

Диагонали многоугольника. Свойство диагоналей прямоугольника. Клас­сификации треугольников (по углам, по сторонам). Площадь прямоугольного треугольника. Площадь многоугольника. Площадь поверхности прямой приз­мы и пирамиды.

Объемные тела: проекции, развертки, изображения на плоскости. Объем параллелепипеда.

Меры объема: мм³, см³, км³, дм³. Объем произвольной прямой призмы.

Составные задачи всех видов. Алгебраический способ решения задач (со­ставление уравнения).

Составлено по содержанию учебников авто­ров ИМ. Аргинской, ЕМ. Ивановской (Сама­ра, 2001).

Распределение программного материала по математике в системе В. В. Давыдова

В системе В. В. Давыдова существует несколько вариантов учебников математики для начальных классов различных авторских коллективов: учебники А.М. Захаровой, Т.И. Фещенко; учебники В.В. Давыдова, С.Ф. Горбова, Г.Г. Микулиной, О.В. Савельевой.

Все эти комплекты учебников были разработаны для системы 1—3, в настоящее время идет работа по реорганизации этих учеб­ников для системы 1—4. Наиболее распространен на сегодня учеб­ник Э.И. Александровой, он включен в Федеральный перечень учебников для начальной школы.

Приведем программное распределение тем в пособиях Э.И. Алек­сандровой, составленное на основе анализа учебников, сборника «Программы для начальной общеобразовательной школы. Система Д.Б. Эльконина — В.В. Давыдова» (М., 2001) и статьи Э.И. Алексан­дровой «Особенности нового курса математики в начальной школе» (Начальная школа: плюс — минус, 2000, № 4).