Равномерная сходимость функционального ряда

Говорят, что функциональная последовательность {f_n(x)}, n=1,2,… сходится к функции f(x) равномерно на множестве X, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется номер члена последовательности, зависящий от , что для всех элементов последовательности с номерами и всех значений из области определения функциональной последовательности x X будет выполняться неравенство . Равномерная сходимость обозначается как f_n(x) f(x)

Замечание В определении равномерной сходимости важно, что номер не зависит от x X. Кроме того, из сходимости функциональной последовательности на множестве X не следует ее равномерная сходимость на этом множестве.

Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся на множестве X к своей сумме S(x), если последовательность его n-ых частичных сумм {S_n(x)}, n=1,2,…сходится равномерно на этом множестве к предельной функции S(x).

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда формулируется следующим образом: для того чтобы функциональный ряд (1) сходился равномерно на множестве X необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого положительного числа нашелся такой номер члена ряда, зависящий от , что для всех членов ряда с номерами , всех натуральных чисел и всех значений x X выполнялось неравенство .

Для исследования сходимости функциональных рядов на практике используют признаки их сходимости.

Говорят, что функциональная последовательность {f_n(x)}, n=1,2,… равномерно ограничена на множестве X, если существует такое действительное число A, что для всех номеров n и всех значений x X справедливо неравенство |f_n(x)|<A.

1 Признак Дирихле-Абеля. Функциональный ряд равномерно сходится на множестве X, если функциональная последовательность {v_n(x)}, n=1,2,… является невозрастающей на этом множестве и равномерно сходится к нулю, т.е. v₁(x)≥v₂(x)≥… ≥v_n(x)≥… и v_n(x) 0, а ряд имеет равномерно ограниченную на X последовательность n-ых частичных сумм.

2 Признак Вейерштрасса. Если функциональный ряд (1) определен на множестве X, и существует сходящийся числовой ряд такой, что для всех x X и любого номера n справедливо неравенство |u_n(x)|≤c_n , то функциональный ряд (1) равномерно сходится на X. Иначе: функциональный ряд (1) равномерно сходится на множестве X, если его можно мажорировать на этом множестве сходящимся числовым рядом.

3 Признак Дини. Если члены u_n(x) сходящегося на множестве X функционального ряда (1) непрерывны на этом множестве и монотонно не возрастают или не убывают в каждой точке x X, а его сумма непрерывна на множестве X, то функциональный ряд (1) равномерно сходится на X.

Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают следующими свойствами.

1 Достаточное условие непрерывности суммы функционального ряда. Если члены функционального ряда (1) u_n(x) со всеми номерами непрерывны в точке x₀ X и функциональный ряд (1) равномерно сходится на X, то его сумма непрерывна в точке x₀.

2 Предельный переход под знаком функционального ряда. Пусть функциональный ряд (1) равномерно сходится на множестве X к сумме S(x), и существует конечный предел в точке a X для любого его члена u_n(x), равный b_n, т.е. . Тогда справедливо следующее соотношение: .

3 Интегрирование суммы функционального ряда. Если члены функционального ряда (1) непрерывны на отрезке [a; b], а сам ряд сходится равномерно на [a; b], то сумма (1) есть непрерывная функция, и .

4 Дифференцирование функционального ряда. Если члены функционального ряда (1) непрерывны и дифференцируемы на множестве X, сам ряд (1) сходится на этом множестве, а ряд, составленный их производных его членов равномерно сходится на X, то сумма (1) есть дифференцируемая функция на X, и .