Ряды с членами произвольного знака

Числовой ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов

. (3)

Числовой ряд (1) называется условно сходящимся, если числовой ряд 91) сходится, а числовой ряд (3) расходится.

Справедлива теорема: если ряд (1) сходится абсолютно, то он и просто сходится, т.е. из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (1).

Применение к сходящемуся ряду (3) признаков сходимости знакоположительных рядов позволяет установить сходимость ряда (1). При этом если ряд (3) расходится, то это не означает в общем случае расходимость ряда (1). Однако, если ряд (3) расходится по признакам Даламбера или Коши, то это означает, что нарушается необходимое условие сходимости числового ряда (1), т.е. , а значит, ряд (1) расходится.

Абсолютно и условно сходящиеся ряды обладают следующими свойствами.

1 Пусть , k=1,2,… – произвольная подпоследовательность последовательности , n=1,2,… Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда .

2 Если числовой ряд (1) сходится условно, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, расходятся.

3 Сочетательное свойство рядов. Пусть ряд (1) сходится, тогда ряд, полученный группировкой его членов без изменения их порядка также сходится, причем его сумма совпадает с суммой исходного ряда.

4 Переместительное свойство (теорема Дирихле) для абсолютно сходящихся рядов. Если ряд (1) абсолютно сходится, то сходится и ряд, полученный перестановкой его членов, причем его сумма совпадает с суммой исходного ряда.

5 Теорема Римана для условно сходящихся рядов. Если числовой ряд (1) сходится условно, то перестановкой его членов можно получить

1) ряд, сходящийся к любому заданному числу;

2) расходящийся ряд;

3) колеблющийся ряд, т.е. ряд, сумма которого не существует.

Признаки сходимости произвольных числовых рядов целесообразно использовать для рядов, которые не являются абсолютно сходящимися. Их применяют к числовым рядам вида

, (4)

где {u_n} и {v_n}, n=1,2,… – числовые последовательности.

Последовательность {v_n}, n=1,2,… называют последовательностью с ограниченным изменением, если сходится ряд .

1 Первый признак Абеля. Если последовательность n-ых частичных сумм ряда ограничена, а последовательность {v_n}, n=1,2,… – последовательность с ограниченным изменением, то ряд (4) сходится.

2 Второй признак Абеля. Если числовой ряд сходится, и последовательность {v_n}, n=1,2,… – последовательность с ограниченным изменением, то ряд (4) сходится.

3 Признак Дирихле-Абеля. Если последовательность n-ых частичных сумм ряда ограничена, последовательность {v_n}, n=1,2,… является невозрастающей и , то ряд (4) сходится.

Числовой ряд (1) называют знакочередующимся, если любые два его соседних члена имеют противоположные знаки, т.е.

, u_n>0. (5)

4 Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда (5) по модулю монотонно убывая стремятся к нулю, то ряд (5) сходится.

Функциональные ряды

Если для некоторого фиксированного множества X каждому натуральному числу n ставится в соответствие по определенному закону некоторая функция f_n(x), заданная на множестве X, то последовательность функций f₁(x), f₂(x), … ,f_n(x),… называют функциональной последовательностью. Функция называется предельной функцией функциональной последовательности {f_n(x)}, n=1,2,… Отдельные функции f₁(x), f₂(x), … ,f_n(x),… называют членами или элементами функциональной последовательности, а множество X – ее областью определения.

Функциональным рядом называется выражение вида

u₁(x)+ u₂(x)+…+ u_n(x)+…= (1),

где {u_n(x)}, n=1,2,… – функциональная последовательность. Здесь u_n(x) – общий или n-ый член функционального ряда, множество X, на котором определены его члены, называют областью определения функционального ряда. В каждой конкретной точке области определения x₀ X функциональный ряд (1) представляет собой числовой ряд.

Сумма n первых членов функционального ряда (1)

(2)

называется его n-ой частичной суммой.

Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке x₀ X, если существует конечный предел последовательности его n-ых частичных сумм в этой точке, т.е. .

Областью сходимости функционального ряда (1) называется множество всех тех значений из области определения x X, при которых ряд (1) сходится. Суммой функционального ряда (1) будет функция для всех x X.