Числовые ряды

Пусть дана числовая последовательность {u_n}, n=1,2,… u_n R. Выражение вида u₁+ u₂+…+ u_n+…называют числовым рядом и обозначают

, (1)

Числа u₁, u₂,…, u_n называют членами ряда (1), а u_n=f(n) – общим членом ряда (1).

Сумма n первых членов ряда S_n=u₁+ u₂+…+ u_n называется n-ой частичной суммой ряда (1).

Числовой ряд (1) называют сходящимся, если существует конечный предел последовательности его n-ых частичных сумм

(2)

Этот предел называют суммой ряда (1). Если конечный предел (2) не существует, то ряд (1) называют расходящимся.

Сходящиеся числовые ряды обладают следующими свойствами.

1. Если ряд (1) сходится и имеет сумму S, то сходится и ряд вида , и имеет сумму S.

2. Если ряды и сходятся и имеют суммы соответственно S₁ и S₂, то сходится и ряд и имеет сумму S₁+S₂.

3. Отбрасывание или присоединение конечного числа членов числового ряда не влияет на его сходимость или расходимость. При этом ряд , полученный отбрасыванием первых n членов ряда, называют n-ым остатком ряда, S=S_n+r_n.

4. Для того, чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е. .

Необходимое условие сходимости числового ряда определяет теорема: если ряд (1) является сходящимся, то предел его общего члена u_n при равен нулю, т.е. . Обратное, вообще говоря, неверно.

Следствие. Если предел общего члена числового ряда (1) при не равен нулю, то ряд расходится.

Знакоположительные ряды

Числовой ряд (1) называют положительным, если для всех номеров n u_n>0.

Критерий сходимости положительных числовых рядов определяет теорема: положительный числовой ряд сходиться тогда и только тогда, когда последовательность его n-ых частичных сумм ограничена сверху.

Для исследования сходимости знакоположительных числовых рядов на практике применяют не критерий, а признаки их сходимости.

1 Признак сравнения

Пусть даны два положительных ряда и , удовлетворяющих условию для любого n=1,2,… Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда . При этом в качестве «эталонных» рядов часто используют следующие ряды:

- геометрический ряд , сходящийся при |q|<1 и расходящийся в противном случае;

- гармонический ряд – расходящийся;

- обобщенный гармонический ряд – сходящийся при и расходящийся при .

2 Предельный признак сравнения

Если для положительных рядов и существует и конечен предел отношения их общих членов , то эти ряды ведут себя одинаково.

3 Предельный признак Даламбера

Пусть для знакоположительного ряда существует предел отношения его n-го и (n+1)-го членов . Тогда при l<1 ряд сходится, при l>1 расходится, а случай l=1 является сомнительным и требует использования другого признака сходимости.

4 Предельный признак Коши

Пусть для знакоположительного ряда существует предел . Тогда при l<1 ряд сходится, при l>1 расходится, а случай l=1 является сомнительным и требует использования другого признака сходимости.

Замечание Признак Коши является более чувствительным, чем признак Даламбера, т.к. если к ряду применим признак Даламбера, то к нему применим и признак Коши. Обратное неверно.

5 Интегральный признак сходимости

Пусть дан знакоположительный ряд с невозрастающими членами u₁ u₂ … u_n …, и функция y=f(x), определенная, непрерывная и невозрастающая при x 1, причем f(1)=u₁, f(2)=u₂,…, f(n)=u_n,,… Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно сходимости несобственного интеграла .