Глава 2. Правила дифференцирования. Таблица производных.

 Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции (глава 1). А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Примеры нахождения производных от простых функций.

Пример 1.

Пример 2.

5

4

3

2

1

Пример 3. Вычислить производную функции

Согласно правилу 1:

Вычислим производные по отдельности:

Пример 4. Вычислить производную функции

Согласно правилу 3:

Пример 5. Вычислить производную от функции

Согласно правилу 4:

Теперь поговорим о сложной функции, но для начала разберемся а что же такое сложная функция. Функции сложного вида не совсем корректно называть термином «сложная функция». К примеру, формула

смотрится очень внушительно, но сложной эта функция не является, в отличие от функции .

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

Это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)). К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx). Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а - целая рациональная функция, тогда .

Формула нахождения производной сложной функции.

Пример 6. Найдем производную сложной функции

В данном примере f – функция возведения в квадрат, а g(x) = 2x+1 – линейная функция.

Тогда:

Пример 7. Найти производную сложной функции )

Глава 3. Физический смысл производной.

Если положение точки при её движении по числовой  прямой задаётся функцией x= f(t), где t – время движения, то производная функции x – мгновенная скорость ν движения в момент времени t.

По аналогии, если скорость точки при ее движении по прямой задается функцией ν=ν(t), где t – время движения, то производная функции ν – мгновенное ускорение a движения в момент времени t.

Примеры решения задач из ЕГЭ к главе 3.

Пример 1. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну 

(где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 9 с.

Решение: Найдем уравнение мгновенной скорости.

В момент времени t = 9 имеем:

Ответ: 60.

Пример 2. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну 

 (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 3 м/с?

Решение: Найдем уравнение мгновенной скорости.

Чтобы найти, в какой момент времени t скорость ν была равна 3, решим уравнение:

Ответ: 8

Пример 3. Материальная точка движется по прямолинейному закону:

 (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ускорение было равно 22 м/с²?

Решение: Найдем уравнение мгновенного ускорения.

Чтобы найти в какой момент времени t ускорение a было равно 22 решим уравнение:

; Ответ: 1.