15

Глава 1. Производная функции. Ее геометрический смысл.

П роизводная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет? Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

К остя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года. На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

Н а самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку A с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке А равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке:

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси ОХ .

Что такое касательная к графику функции? Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника AMN :

. Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

П роизводная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной. Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции. Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке A функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке A , образует острый угол α с положительным направлением оси OX . Значит, в точке A производная положительна.

В точке B наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол β с положительным направлением оси OX. Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

• Если функция возрастает, ее производная положительна.

• Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках C (точка максимума) и D (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка C — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке D— точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

• Если производная положительна, то функция возрастает.

• Если производная отрицательная, то функция убывает.

• В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

• В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	Точка минимума	возрастает
	+	0	-	0	+

В озможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке Е касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки Е функция возрастала — и после точки Е продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

П римеры решения задач из ЕГЭ к главе 1.

Пример 1. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Решение: Производная функции в точке x₀ равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке: .

П о­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу ACB:

П ример 2. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Решение: Производная функции в точке x₀ равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке: .

П о­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точках   A (−2; −9), B (−2; −3), C (−5; −3). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB. По­это­му

Замечание: Внимательно читайте, что изображено на графике (производная или сама функция) и о чем вас спрашивают в задании (о производной функции или о самой функции). Ответы будут различными. Ниже приведены примеры, в которых имеются подобные «ловушки»

П ример 3. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции   и две­на­дцать точек на оси абс­цисс: В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции   отри­ца­тель­на?

 

Решение: От­ри­ца­тель­ным зна­че­ни­ям про­из­вод­ной со­от­вет­ству­ют ин­тер­ва­лы, на ко­то­рых функ­ция  убы­ва­ет. В этих ин­тер­ва­лах лежат точки   Таких точек 7.

 

П ример 4. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции   и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­боль­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

 

Решение: Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. Про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на в точ­ках −2 и 2. Угол на­кло­на (и его тан­генс) явно боль­ше в точке −2.

Ответ:−2.

П ример 5. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

Решение: За­дан­ная функ­ция имеет мак­си­му­мы в точ­ках 1, 4, 9, 11 (красные точки) и ми­ни­му­мы в точ­ках 2, 7, 10 (зеленые точки). По­это­му сумма точек экс­тре­му­ма равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

 

Так же на рисунке отмечены точки перегиба (желтым). Они не являются точками экстремума.

П ример 6. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−8; 3). В какой точке от­рез­ка [−3; 2] функ­ция f(x) при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

 

Решение: На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке убы­ва­ет. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке −3.

П ример 7. На рисунке изображен график функции . Определите количество целых точек в которых функция f(x) неотрицательна?

Р ешение: Функция f(x) неотрицательна там, где она выше оси ОХ (выделено зеленым на рисунке!).

Всего 9 целых точек (красные) в которых функция не отрицательна (положительна или равна 0).

П ример 8. На рисунке изображен график функции . Определите количество целых точек в которых производная функции f(x) неотрицательна?

Р ешение: Производная функции f(x) должна быть неотрицательна. Значит она должна быть положительной или равной 0. Производная положительна в точках, в которых функция возрастает, а равна нулю в точках максимума и минимума.

Всего 5 целых точек в которых производная функции неотрицательна (красные точки).