2. Дифференциальное исчисление.
Определение производной
Производная
или
от данной функции
есть предел отношения приращения функции
к соответствующему приращению аргумента,
когда приращение аргумента стремится
к нулю:
или
.
Для вычисления производной элементарной функции используются следующие формулы, полученные с помощью определения производной.
1) Производная постоянной равна нулю.
2)
.
3)
.
4)
,
где
– постоянная.
Формулы 3 и 4 можно
записать одной равносильной им формулой
,
где
и
- постоянные.
Свойство производной,
выраженное этой формулой, называется
свойством линейности. В частном случае,
если
,
,
получим, что
,
т.е. производная разности двух функций равна разности производных этих функций.
5)
.
6)
.
7)
,
где
.
8)
,
где
и
.
Если
,
то
,
так как
.
9)
,
где
,
и
.
Если
,
то
.
10)
.
11)
.
12)
.
13)
.
14)
.
15)
.
16)
.
17)
.
Пример 17:
а)
б)
в)
Производные высших порядков.
Производная второго порядка функции
Пример 18.
а)
Найти производную второго порядка
функции
.
Решение.
Найдем сначала производную первого
порядка
.
От
производной первого порядка возьмем
еще раз производную
.
б)
Найти производную третьего порядка
функции
.
Решение.
.
Исследование функций.
План полного исследования функции:
Элементарное исследование:
- найти область определения и область значений;
- выяснить общие свойства: четность(нечетность), периодичность;
- найти точки пересечения с осями координат;
- определить участки знакопостоянства.
2. Асимптоты:
- найти вертикальные асимптоты
,
если
;
- найти наклонные асимптоты:
.
Если
любое число, то
–
горизонтальные асимптоты.
3. Исследование с помощью :
- найти критические точки, те. точки в
которых
или не существует;
- определить интервалы возрастания, те.
промежутки, на которых
и
убывания функции –
;
- определить экстремумы: точки, при переходе через которые меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума.
4. Исследование с помощью
:
- найти точки, в которых
или не существует;
- найти участки выпуклости, т.е. промежутки,
на которых
и вогнутости –
;
- найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые меняет знак.
5. Построение графика функции.
Пример 19. Исследовать функцию и построить ее график.
.
1)
2) Функция
нечетная:
.
3) Асимптоты.
– вертикальные асимптоты, т.к.
Наклонная
асимптота
.
5)
– точка перегиба.
Схематичный график данной функции:
Правило Лопиталя.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
Т.е. при раскрытии
неопределенностей вида
или
можно использовать формулу:
.
Пример 19.
а)
б)
