Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ

имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Нижнетагильский технологический институт (филиал)

Математика (часть II)

Математический анализ

Методические указания по изучению дисциплины и задания для выполнения контрольной работы студентами-заочниками по специальности:

Нижний Тагил

2012

Халтурина Т.Ю. Математический анализ. Методические указания.

Рецензент:

Утверждены на заседании кафедры

Протокол № _____ от _____________200 __ г.

Утверждены учебно-методическим советом

Протокол № _____ от _____________200 __ г.

Введение.

Курс математики дает основные определения, понятия и методы современной математики, которые лежат в основе изучения многих предметов экономического факультета. Любой курс современной экономики использует математический аппарат: анализируются графики различных зависимостей, проводится математическая обработка различных данных и т.д. Поэтому студенты должны знать основные определения и понятия, иметь навыки формализации задач и применения математических методов для подведения результатов вычислений и исследований.

1. Общие методические рекомендации.

Основной формой обучения студента – заочника является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий. При самостоятельном изучении дисциплины вначале нужно ознакомиться с ее программой. Изучить материал, изложенный в рекомендуемой литературе. При этом следует составить краткий конспект из основных положений. Ответить на вопросы для самоконтроля. После усвоения учебного материала выполняется контрольная работа.

2. Программа курса

Элементы теории множеств.

Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества и их свойства. Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней. Границы числовых множеств. Понятие окрестности точки. Точечные множества в N-мерном пространстве.

Вопросы для самоконтроля.

1. Дать понятие множества.

2. Способы задания множеств.

3. Объединение, пересечение, разность и симметрическая разность множеств.

4. Понятие окрестности точки.

Введение в математический анализ

Понятие функции. Свойства функций. Свойства и графики основных элементарных функций. Числовые последовательности и их свойства. Предел последовательности. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Непрерывность функций. Глобальные свойства непрерывных функций.

Вопросы для самоконтроля.

5. Дать понятие функции, ее области определения и области значения.

6. Перечислить основные элементарные функции и их основные свойства и графики.

7. Дать определение предела числовой последовательности и предела функции. Написать основные свойства пределов.

8. Основные теоремы о пределах.

9. Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов.

10. Использование первого и второго замечательных пределов при вычислении пределов.

11. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва функции.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Правила нахождения производной: производная алгебраической суммы, произведения, частного, производная сложной функции. Основные формулы для вычисления производных. Понятие дифференциала. Свойства дифференциала и его вычисление. Производные и дифференциалы высших порядков.

Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения: экстремум функции, наибольшее и наименьшее значение функции, выпуклость функции. Схема исследования функции и построение графика.

Вопросы для самоконтроля.

12. Дать определения производной функции, ее геометрический и физический смысл.

13. Основные правила дифференцирования функции. Правило дифференцирования сложной функции.

14. Дать определение дифференциала функции и его геометрический смысл и основные свойства.

15. Какие функции называются возрастающими и убывающими, сформулировать признаки возрастания и убывания функции.

16. Назвать достаточные признаки экстремума функции.

17. Производные и дифференциалы высших порядков.

18. Какая кривая называется выпуклой, вогнутой, как определяются интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

19. Достаточный признак существования точек перегиба.

20. Дать определение асимптоты кривой, нахождение вертикальных и наклонных асимптот.

21. Назвать схему исследования функции и построения ее графика.

22. Применение правила Лопиталя при вычислении пределов функции.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

Определение функции нескольких переменных. Предел и не прерывность функции нескольких переменных. Частные производные функции нескольких переменных, их геометрический смысл (для случая двух независимых переменных). Частные производные высших порядков. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его применение в приближенных вычислениях. Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значений.

Классические методы оптимизации. Функции спроса и предложения. Функции полезности. Кривые безразличия.

Вопросы для самоконтроля.

23. Дать определения функции двух переменных. Что является областью функции двух переменных.

24. Дать определения частных производных первого порядка функции двух переменных.

25. Нахождение частных производных второго порядка функции двух переменных.

26. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его применение в приближенных вычислениях.

27. Экстремум функции нескольких переменных.

28. Нахождение наибольшего и наименьшего значений.

29. Функции спроса и предложения.

30. Функции полезности.

31. Кривые безразличия.

Интегральное исчисление.

Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, подведение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Интегрирование тригонометрических функций. Понятие определенного интеграла. Его геометрический и экономический смысл. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы. Применение определенного интеграла в экономике.

Вопросы для самоконтроля.

32. Дать определения неопределенного интеграла и перечислить его основные свойства.

33. Основные методы интегрирования (замена переменных, интегрирование по частям, подведения под знак дифференциала).

34. Понятие определенного интеграла.

35. Геометрический и экономический смысл определенного интеграла.

36. Формула Ньютона-Лейбница.

37. Замена переменных в определенном интеграле.

38. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

39. Несобственные интегралы.