Представление вещественных чисел в формате с плавающей запятой

Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами. Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой.

Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа А в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления q в некоторой целой степени p, которую называют порядком:

А=m×q^p

Например, число 139,76 можно записать в виде: 0,13976×10³. Здесь

m = 0,13976 – мантисса, q=10 – основание системы счисления,

p=3 – порядок.

Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка». Однако справедливы и следующие равенства:

139,76=13,976×10¹ = 1,3976×10² = 0,013976х10⁴ = 13976 х10^-2

Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой.

Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию: 1/n < | m | < 1, то есть мантисса меньше единицы и первая значащая цифра - не ноль. Следовательно, для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 0,13976х10³.

В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой.

Пример. Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (q=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:

± маш. порядок	МАНТИССА
1-й байт	2-й байт	3-й байт	4-й байт

В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 – минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы.

Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок может быть как положительным, так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком (одним из 128 значений) и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:

Машинный порядок	0	1	2	3	…	64	65	…	125	126	127
Математический порядок	-64	-63	-62	-61	…	0	1	…	61	62	63

Если обозначить машинный порядок М_q, а математический q, то связь между ними выразится формулой: М_q = q + 64

Итак, машинный порядок смещен относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. Полученная формула записана в десятичной системе счисления. В двоичной системе счисления формула имеет вид:

М_q = q + 1 000 000₂

При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает.

Алгоритм для получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:

1. Перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;

2. Записать полученное двоичное число в нормализованном виде;

3. Определить машинный порядок с учетом смещения;

4. Учитывая знак заданного числа (0 – положительное; 1 – отрицательное), записать его представление в памяти ЭВМ.

Например, запишем внутреннее представление числа 139,76 в форме с плавающей точкой в 4-х байтовой ячейке:

1) Переведем десятичное 139,76 и запишем его 24-значащими цифрами: 139,76₁₀ = 10001011,1100001010001111₂

2) Запишем полученное двоичное число в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:

10001011,1100001010001111₂ = 0,100010111100001010001111₂ х10¹⁰⁰⁰,

где 0,100010111100001010001111₂ – мантисса;

10 – основание системы счисления (2₁₀=10²);

1000 – порядок (8₁₀=1000₂).

3) Определим машинный порядок:

M_q2 = 1000 + 1000000 = 1001000

4. Запишем представление числа в ячейке памяти:

± маш. порядок	МАНТИССА
0 1001000	10001011	11000010	10001111

Для того чтобы получить внутренне представление десятичного отрицательного числа -139,76 достаточно в полученном выше представлении заменить в разряде знака числа 0 на 1. Никакого инвертирования, как для отрицательных целых чисел, здесь не происходит.

Задачи для самостоятельного решения

1. Компьютер работает только с целыми положительными числами. Каков диапазон изменения чисел, если для представления числа в памяти компьютера отводится 4 байта?

2. Каков диапазон изменения целых чисел, если для представления числа в памяти компьютера отводится 4 байта?

3. Записать в двоичной и шестнадцатеричной форме внутреннее представление наибольшего положительного целого и наибольшего по абсолютной величине отрицательного целого числа, представленных в 1-байтовой ячейке памяти.

4. Получить внутреннее представление целого числа 1607₁₀ в 2-х байтовой ячейке памяти.

5. Получить внутреннее представление целого числа -1607₁₀ в 2-х байтовой ячейке памяти.

6. По шестнадцатеричной форме внутреннего представления целого числа F67D в 2х-байтовой ячейке восстановить само число.

7. Представить число 0,005089 в нормализованной форме с плавающей точкой в десятичной системе счисления.

8. Получите двоичную форму внутреннего представления действительных чисел 224,25 и -224,25 в формате с плавающей точкой в 4-х байтовой ячейке.

9. Запишите в десятичной системе счисления целое число, если его дополнительный код 1000000110101110.