Взаимосвязь двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

Связь между восьмеричными и двоичными числами определяется следующим соотношением: 2³ = 8. Поэтому каждому восьмеричному числу соответствует группа из 3-х двоичных цифр, триада. Это соотношение и определяет правило перевода из восьмеричной в двоичную систему счисления и наоборот.

Правило 4. Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления двоичное число, начиная от десятичной запятой, влево и вправо разбивается на триады. Если крайние триады оказались неполными, то их дополняют приписыванием нулей. Каждая триада заменяется соответствующей ей восьмеричной цифрой.

Для перевода восьмеричного числа в двоичную систему каждая цифра восьмеричного числа заменяется соответствующей ей триадой в двоичной системе счисления.

Связь между шестнадцатеричными и двоичными числами определяется соотношением: 2⁴ = 16, т.е. каждому шестнадцатеричному числу соответствует группа из 4-х двоичных цифр, тетрада.

Правило 5. При переводе двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления число разбивается на тетрады. И каждая тетрада заменяется соответствующей ей шестнадцатеричной цифрой.

Аналогично производится и обратный перевод.

Пример. Двоичное число 1100101111 перевести в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем на триады, начиная справа, 1 100 101 111. Дополняя до полной триады, получаем, 001 100 101 111. Заменяя триады восьмеричными числами (табл.1), получаем ответ:

1 100 101 111₂ = 1457₈

Пример. Двоичное число 0,1101101101 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем на тетрады, начиная слева от запятой, 0, 1101 1011 01. Дополняя до полной тетрады, получаем, 0,1101 1011 0100. Заменяя тетрады шестнадцатеричными цифрами (табл.1), получаем ответ:

0,1101 1011 01₂ = 0,DB4₁₆

Таблица 1. Соответствие натуральных рядов чисел в разных системах счисления

Десятичная система счисления	Двоичная система счисления	Восьмеричная система счисления	Шестнадцатиричная система счисления
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Задачи для самостоятельного решения

1. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 147, 522, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

2. Какое из чисел 110011₂, 111₄, 35₈ и 1В₁₆ является наибольшим (наименьшим)?

3. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

а) [101101₂; 110000₂];

б) [14₈; 20₈];

в) [38₁₆; 40₁₆].

4. В классе 1111₂ девочек и 1100₂ мальчиков. Сколько учеников в классе?

5. Запишите в порядке возрастания числа 223₄, 677₈, 2222₃, 1001₂.

6. Осуществите перевод чисел 16547,01 и 345,61 по схеме: A₁₀→ A₁₆→ A₂→ A₈ (с точностью до второго знака после запятой).

7. Сколько разрядов будет в числе, если записать его в восьмеричной системе счисления?

а) 10111010;

б) 11001111000111.

8. Выполнить перевод чисел из одной системы счисления в другую:

567,54₁₀ А₂, А₈, А₁₆;

10100,01001₂  А₁₆, А₈, А₁₀.