Позиционные системы счисления

Любая система счисления – это система кодирования числовых величин (количеств), позволяющая выполнять операции кодирования и декодирования, то есть по любой количественной величине однозначно находить его кодовое представление и по любой кодовой записи – восстанавливать соответствующую ей числовую величину.

Все системы счисления строятся по общему принципу: определяется величина р – основание системы (количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе), а любое число х записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й до n-й степени следующим образом:

(x)₁₀ = x_npⁿ + _xn–1p^n–1 + ... + x₁p¹ + x₀p⁰

• Двоичная система счисления имеет основание 2, и, следовательно, ее алфавит состоит из двух цифр - 0 и 1;

• алфавит восьмеричной системы счисления составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;

• шестнадцатеричной - десять арабских цифр от 0 до 9 и еще шесть символов - А (10), В (11), С (12), D (13), E (14), F (15).

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления вспомогательные и применяются для записи машинных команд, некоторых констант и удобства программирования. Они удобны тем, что требуют для записи чисел соответственно в три и четыре раза меньше цифр, а перевод таких чисел в двоичную систему очень прост.

Перевод из одной системы счисления в другие Перевод целых десятичных чисел

Правило 1. Чтобы перевести целое десятичное число А в другую позиционную систему счисления его нужно последовательно разделить на основание переводимой системы счисления р. Процесс деления продолжается до получения в частном нуля. Остатки от деления, записанные в обратном порядке, является цифрами, представляющими число А в системе с основанием р.

Пример. Перевести в восьмеричную систему счисления десятичное число 246. А₁₀ = 246₁₀; p= 8

Ответ: 246₁₀ = 366₈

Перевод дробных десятичных чисел

Правило 2. Чтобы перевести правильную десятичную дробь в другую позиционную систему счисления, её нужно последовательно умножать на основание системы р. В умножении участвуют только дробные части. Процесс умножения продолжается до получения требуемого числа знаков (точного перевода, в общем случае, добиться не удается) или произведения равного нулю. Целые части получающихся произведений, начиная с первого, являются цифрами правильной дроби в системе с основанием р.

Величина погрешности Т при переводе равна:

T=k^0,5/р

где k – количество цифр дробной части, p - основание системы.

Пример. Перевести в двоичную систему счисления десятичное число 0,625.

Ответ: 0,625₁₀ = 0,101₂ (перевод числа выполнен точно).

Перевод числа из какой-либо позиционной системы в десятичную систему счисления

Правило 3. Для перевода числа из какой-либо позиционной системы в десятичную систему его представляют, используя позиционную запись числа, как сумму произведений соответствующих цифр на степени основания р, которую затем подсчитывают.

Пример. Двоичное число 1101011 перевести в десятичную систему счисления

6 5 4 3 2 1 0

1 1 0 1 0 1 1 ₂ = 1*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 107₁₀

Перевести в десятичную систему счисления восьмеричную дробь, в десятичном числе представлены только 4 значащие цифры.