18. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Коэффициенты Безу (линейное разложение нод).

Пусть f, g, d — ненулевые многочлены из F[x] и d — НОД многочленов f и g. Тогда найдутся такие u, v из F[x], что uf + vg = d, причем deg u < deg g, а deg v < deg f. Многочлены u и v называются коэффициентами Безу.

Доказательство. Очевидно, что достаточно научиться находить коэффициенты Безу по крайней мере для одного из возможных НОД, например, для НОД, выдаваемого алгоритмом Евклида. Применим к f и g алгоритм Евклида. В ходе его работы получим последовательности частных q₁, q₂, . . . , q_s+1 и остатков r₁, r₂, . . . , r_s. На первой итерации запишем два тривиальных равенства:

f = 1 · f + 0 · g, (γ−1)

g = 0 · f + 1 · g, (γ0)

и вычтем из первого второе, умноженное на q₁. Тогда согласно (β₀) в левой части получим r₁. В правой части соберем множители у f и у g:

r₁ = 1 · f + (−q₁) · g. (γ1)

На второй итерации вычтем из равенства (γ0) равенство (γ1), умноженное на q₂. Согласно (β₁) в левой части получим r₂. В правой части снова соберем множители у f и у g:

r₂ = (−q₂) · f + (1 + q₁q₂) · g. (γ2)

На третьей итерации из (γ1) вычтем (γ2), умноженное на q₃. Согласно (β₂) в левой част получим r₃. В правой части снова соберем множители у f и у g:

r₃ = (1 + q₂q₃) · f + (−q₁ − q₃ − q₁q₂q₃) · g. (γ3)

Будем выполнять такие преобразования далее. На k-й итерации (k = 1, 2, . . . , s), вычитая из равенства (γk−2) равенство (γk−1), умноженное на q_k, получим

r_k = u_kf + v_kg, (γk)

где u_k, v_k — некоторые многочлены. На s-й итерации получим

d = r_s = u_sf + v_sg. (γs)

Можно считать, что многочлены us и vs ненулевые . Если deg u_s < deg g и deg v_s < deg f, то u_s и v_s — искомые коэффициенты Безу. В противном случае выполним следующую процедуру.

Пусть, для определенности, deg u_s ≥ deg g. Разделим u_s на g: u_s = qg + r. Теперь из (γs)

получаем

d = rf + (v_s + qf)g.

Обозначим u = r, v = v_s + qf. Имеем uf + vg = d и deg u < deg g. Покажем, что deg v < deg f,

тем самым завершив доказательство теоремы. Предположим противное: deg v ≥ deg f, тогда

deg(uf) < deg g + deg f, но deg(vg) ≥ deg g + deg f, поэтому

deg d = deg(uf + vg) ≥ deg g + deg f,

что противоречит тому, что d — НОД многочленов f и g.

Алгоритм нахождения коэффициентов Безу, описанный при доказательстве теоремы, называется расширенным алгоритмом Евклида

19. Взаимно простые многочлены. Критерий взаимно простых чисел. Свойства.

Многочлены f и g назовем взаимно простыми, если их НОД равен ненулевой константе.

Следствие . Для того, чтобы многочлены f и g из F[x] были взаимно простыми необходимо и достаточно, чтобы в F[x] существовали такие u и v, что uf + vg = 1.

Доказательство. Необходимость является прямым следствием теоремы.

Достаточность. Пусть d — НОД многочленов f и g, поэтому каждое из слагаемых в левой части равенства uf + vg = 1 делится на d, а значит на d делится и правая часть: 1:d, откуда

выводим, что d — ненулевая константа.

Следствие. Пусть поле F является подполем поля F′. Для того, чтобы многочлены f и g из F[x] были взаимно простыми необходимо и достаточно, чтобы эти многочлены, рассматриваемые как элементы множества F′[x], были также взаимно простыми.

Утверждение. Если многочлен f взаимно прост с каждым из многочленов g и h, то он взаимно прост и с их произведением gh.

Доказательство. Так как многочлен f взаимно прост с каждым из многочленов g и h, то найдутся такие u, u₁, v, v₁, что

uf + vg = 1,

u₁f + v₁h = 1.

Складывая эти два равенства и осуществляя очевидные преобразования, получаем:

(uu₁ + fu + v₁h + vgu₁)f + (vv₁)(gh) = 1,

откуда по следствию 5.23 получаем, что многочлены f и gh взаимно просты.

Утверждение. Если fg :h, причем многочлены f и h взаимно просты, то g:h.

Доказательство. Так как многочлены f и h взаимно просты, то найдутся такие u, v, что uf + vh = 1. Умножая обе части этого равенства на g, получаем

ufg + vhg = g.

Очевидно, второе слагаемое в левой части делится на h. Первое слагаемое левой части делится на h по условию. Следовательно, g:h.

Утверждение. Если f:g и f:h, причем g и h взаимно просты, то f:gh.

Доказательство. Так как f:g, то для некоторого q имеем f = qg. Но f:h. Так как g и h взаимно просты, то g:h, откуда f:gh.

Рассмотрим систему многочленов f₁, f₂, . . . , f_s из F[x]. Многочлен d называется их общим делителем, если f_j:d (j = 1, 2, . . . , s). Общий делитель называется наибольшим, если он делится на любой другой их общий делитель.