4. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел.

Целое число p>1 называется простым, если оно не имеет целых положительных делителей, кроме 1 и p (нет и тривиальных -1 и -p). Целые числа, большие 1, не являющиеся простыми, называются составными.

Теорема Евклида. Простых чисел бесконечно много.

Док-во: От противного. Предположим, что всего имеется s простых чисел. Обозначим их p1, p2, p3, . . . , ps.

Рассмотрим тогда число p = p1p2 . . . ps + 1. Легко видеть, что при делении p на pk (k =1, 2, . . . , s) в остатке всегда будем получать 1, т. е. p не делится на pk (k = 1, 2, . . . , s). Итак, p не делится ни на одно простое число, поэтому, согласно лемме (Любое целое число, большее 1, имеет простой делитель) p само является простым.

Полученное противоречие показывает, что наше предположение о конечности множества простых чисел неверно.

Замечание: Из доказательства теоремы не следует, что если p1, p2, . . . , ps — первые s простых чисел, то число p1p2 . . . ps + 1 простое.

5. Основная теорема арифметики.

«Основная теорема арифметики»: Любое натуральное число a допускает разложение вида a = p1p2 . . . ps, где p1, p2, . . . , ps - простые числа. Для заданного a представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Док-во: 1) Докажем, что разложение существует для любого натурального a. 1) Если a = 1 или a — простое, то разложение найдено. 2) Если a составное, то согласно определению найдется его делитель b, такой, что 1 < b < a. Тогда для некоторого целого c, где 1 < c < a, будет выполнено a = bc.

Если b и c простые, то искомое разложение найдено. Если хотя бы одно из них, для определенности b, составное, то b = df. Значит a=dfc. Если среди этих делителей есть составное число, проведем с ним аналогичные операции и т. д. Так как всякий раз величина новых делителей уменьшается, то мы данный процесс завершится и мы получим разложение числа a на простые множители.

Разложение имеет место и для a=1. Произвед., содержащие 0 сомножителей, естественно считать равными 1.

2) Теперь докажем единственность разложения для любого натурального a. Предположим, что нашлось два разложения

a = p1p2 . . . ps = q1q2 . . . qt, где p1, . . . , ps, q1, . . . , qt — простые. (p1p2 . . . ps):q1. Согласно утверждению, что если ab:p, причем p — простое число, а a и b — целые, то a:p или b:p, так как q1 — простое, то найдется j, такое, что pj:q1. Для определенности предположим, что j = 1 (если не так, то всегда можно перенумеровать множители p1, p2, . . . , ps). Таким образом, p1:q1. Так как p1 — простое, то p1 = q1. Сокращая на этот общий множитель. Повторяя те же рассуждения, приходим к выводу что, после возможной перенумерации p2=q2. Сокращаем на этот множитель. В конце получим ps = qt и s = t. Таким образом, два разложения в могут отличаться лишь порядком следования множителей.

6. Сравнения и классы вычетов. Операции (сложение, вычитание, умножение) с классами вычетов.

Пусть m — некоторое натуральное число. Говорят, что два целых числа a и b сравнимы по модулю m, если (a − b):m, т. е. для некоторого целого q: a − b = qm. Запись: a ≡ b (mod m)

Критерий: Для того, чтобы два целых числа были сравн. по мод. m необходимо и достаточно, чтобы остатки от их деления на m совпадали (a ≡ b (mod m) ⇔ a mod m = b mod m)

Док-во. Необходимость. Если a ≡ b (mod m), то (a − b): m. Числа a и b разделим с остатком на m. Имеем a = q1m + r1, 0 ≤ r1 < m, b = q2m + r2, 0 ≤ r2 < m. Предположим, что r1 ≥ r2. Обозначим r = r1 − r2. Тогда a − b = (q1 − q2)m + r, 0 ≤ r = r1 − r2 < m, откуда следует, что r = (a − b) mod m. Но (a − b): m, т. е. r = r1 − r2 = 0, поэтому r1 = r2.

Достаточность. Если a mod m = b mod m, то найдутся целые q1, q2, r, такие, что a = q1m + r, b = q2m + r, откуда a − b = (q1 − q2)m, т. е. a − b:m и a ≡ b (mod m).

Любое число a сравнимо по модулю с одним и только с одним из чисел 0 . . . m − 1. Таким образом, все мн. Z разбивается на m подмножеств сравнимых между собой целых чисел. Эти классы называются классами вычетов по модулю m.

Арифметика: Сравнения по одному и тому же модулю можно складывать, вычитать и перемножать, т.е.

Если a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m), то a + c ≡ b + d (mod m); a − c ≡ b − d (mod m); ac ≡ bd (mod m) +aⁿ ≡ bⁿ(mod m) для любого натурального n.

Док-во. Докажем, третье свойство. Так как a ≡ b (mod m), c ≡ d(mod m), то найдутся целые q1, q2, такие, что a − b = q1m, c − d = q2m, откуда (a+c)−(b+d) = (q1 +q2)m, (a−c)−(b−d) = (q1 −q2)m, ac−bd = (bq2 +dq1 +q1q2)m. Ч. и т.д..