27. Разложение многочлена на линейные множители над полем комплексных чисел. Разложение на линейные и квадратичные множители многочлена с вещественными коэффициентами.

Для любого многочлена

f = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + . . . + a_n−1x + a_n ∈ C[x] (a₀ <> 0)

найдутся такие числа c₁, c₂, . . . , c_s ∈ C и k₁, k₂, . . . , k_s ∈ N, что

f = a₀(x − c₁)^k1 (x − c₂)^k2. . .(x − c_s)^ks,

где k₁ + . . . + k_s = n, c_i <> c_j (i 6= j; i, j = 1, 2, . . . , s).

Для любого многочлена представление вида с указанными свойствами единственно с точностью до перестановки множителей (c − c_j ) k_j (j = 1, 2, . . . , s). Запись виданазывается разложением многочлена f на линейные множители. Доказательство. Существование. Пусть f ∈ C[x] и deg . Най-

дется c₁ ∈ C, такое, что f(c₁) = 0. По теореме Безу имеем:

f = (x − c₁)f₁, где f₁ ∈ C[x]. Если deg f₁ ≥ 1, то найдется c₂ ∈ C, такое, что f(c₂) = 0,поэтому

f = (x − c₁)(x − c₂)f₂,

где f₂ ∈ C[x]. Продолжая эти рассуждения далее (легко провести индукцию), получим

f = c₀(x − c₁)(x − c₂). . .(x − c_n),

где c₀ — константа. Легко видеть, что коэффициент при старшей степени равен c₀, поэтому

c₀ = a₀. После переобозначения получаем.

Единственность. Предположим, что

f = a₀(x − c₁)^k1(x − c₂)^k2. . .(x − c_s)k^s =

= b₀(x − d₁)^l1(x − d₂)^l2. . .(x − d_t)^lt.

Во-первых, a₀ = b₀.

Во-вторых, докажем, что {c₁, c₂, . . . , c_s} = {d₁, d₂, . . . , d_t}. Предположим противное: для определенности,

c₁ <>d_j (j = 1, 2, . . . , t). Подставив c₁ в обе части равенства, получаем слева 0, а справа ненулевое значение. Поэтому s = t и мы можем считать, что c_j = d_j. Теперь имеет вид

a₀(x − c₁)^k1(x − c₂)^k2. . .(x − c_s)^ks =

= a₀(x − c₁)^l1(x − c₂)^l2. . .(x − c_s)^ls.

Наконец, докажем, что k_j = l_j (j = 1, 2, . . . ,. Предположим противное: для определенности, k₁ > l₁. Тогда получаем

(x − c₁)^k1−l1(x − c₂)^k2. . .(x − c_s)^ks = (x − c₂)^l2. . .(x − c_t)^lt.

Подставив c₁ в обе части равенства, получаем слева 0, а справа ненулевое значение.

Замечание. В представлении многочлена f в виде произведения множителей вида

(x − c_j )

k_j (j = 1, 2, . . . , t) показатель степени k_j является кратностью многочлена f.

Следствие. Всякий ненулевой многочлен f ∈ C[x] степени n имеет с учетом кратности ровно n комплексных корней.

Заметим, что полученное следствие справедливо для любого алгебраически замкнутого поля.

Утверждение . Пусть f э R[x]. Если c э C — корень многочлена f, то c также является корнем этого многочлена и имеет ту же кратность.

Доказательство. Пусть f = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + . . . + a_n−1x + a_n.

Так как f(c) = 0, то

Чтобы показать, что корень c имеет ту же кратность, что и c достаточно применить те

же рассуждения к производным многочлена f и воспользоваться следствием.

Следствие Для любого многочлена

f = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + . . . + a_n−1x + a_n ∈ R[x] (a₀ <>0)

найдутся числа c₁, c₂, . . . , c_s ∈ R, p₁, p₂, . . . , p_t ∈ R, q₁, q₂, . . . , q_t ∈ R, k₁, k₂, . . . , k_s ∈ N,

l₁, l₂, . . . , l_t ∈ N, такие, что

f = a₀(x − c₁)^k1. . .(x − c_s)^ks(x² + p₁x + q₁)^l1. . .(x² + p_tx + q_t)^lt

где

k₁ + . . . + k_s + 2l₁ + . . . + 2l_t = n,

c_i <> c_j (i <>j; i, j = 1, 2, . . . , s),

x² + p_ix + q_i <> x² + p_jx + q_j (i 6= j; i, j = 1, 2, . . . , t),

причем многочлены x² + p_jx + q_j вещественных корней не имеют. Для любого многочлена f ∈ R[x] представление вида с указанными свойствами единственно с точностью до

перестановки множителей.

Доказательство. Существование.

Единственность. Чтобы по представлению получить разложение на линейные множители достаточно разложить на линейные множители каждый из квадратных многочленов x² + p_jx + q_j. Каждый из этих многочленов имеет вещественные коэффициенты и пару комплексно сопряженных корней. Если бы для одного и того же многочлена существовали различные разложения вида с указанными свойствами, то мы из них получили бы различные представления,что противоречит следствию .

Следствие. Произвольный многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один вещественный корень.

Доказательство. По следствию, так как степень многочлена нечетна, то в разложении вида обязательно найдется по крайней мере один линейный множитель.