6.12Понятие функции Грина
Чтобы решить уравнение
,
где L=
p
линейный дифференциальный оператор.
Предположим, что мы нашли оператор,
обратный к L
(обозначим его через
L-1
), такой что
(где
I
- тождественный оператор). Например,
если
,
то L-1
является оператором интегрирования
;
.
Для дифференциального оператора общего
вида можно предположить, что
L-1
представляет собой интегральный оператор
с ядром
,
то есть
1.
Если найдено ядро G, то с помощью этого равенства можно найти решение дифференциального уравнения. Причем - это функция Грина, которая является очень полезным понятием. Это мы раскроем чуть позже.
Действуя вновь оператором по (1), получаем
2.
Поскольку оператор интегрирования и дифференцирования являются линейными, то их можно поменять местами. Тогда первая часть
3.
И поскольку слева, очевидно стоит , то получаем
4.
Известно, что
,
должно иметь следующие соотношение
5.
Из уравнения (5) вытекает очень важный факт, что ядро , которое называется функцией Грина, удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, если входное воздействие заменить на - функцию.
Оказывается функция Грина имеет простой физический смысл: это отклик на единичное импульсное воздействие
Простые системы типа "вход-выход" и функция Грина
x
(t)
y(t)
Система называется инвариантной во
времени (или систем с постоянными
параметрами). Если входное воздействие
возрождает
отклик
.
Если входным сигналам x1(t)
и x2(t)
соответствуют выходные сигналы y1(t)и
y2(t)и
при этом входной сигнал
(а1
и а2
- константы) и ???? выходной сигнал
-
то система называется линейной.
при
-
условие физической реализуемости.
Для стационарных систем
.
6.13Типовые звенья сау.
Полиномы числителя и знаменателя передаточной функции можно разложить на простейшие множители по их корням.
здесь μ = b0/a0 – константа.
Возможны два случая:
• Корни вещественные. Оставляем скобки без изменения.
• Пара комплексно сопряженных корней вида: p1,2= α ± jβ - объединяем их и раскрываем скобки (p-α+jβ)(p-α-jβ)= p2-2α p + β2 + α2 - полином имеет вещественные коэффициенты.
После такого представления в числителе и знаменателе будет некоторое количество скобок первого порядка, соответствующих вещественным корням, и некоторое количество скобок второго порядка, соответствующих комплексно – сопряженным корням. При этом все числовые коэффициенты в скобках будут вещественными.
Рассмотрим каждую такую скобку, как элементарную передаточную функцию, практически реализуемую в силу вещественности коэффициентов.
(6.22)
Σ = n+m, если все корни вещественные;
Σ < n+m, если есть комплексные корни.
Принято выносить общий множитель К за скобки так , чтобы свободный член всех скобок был равен 1. Тогда К называют коэффициентом усиления. Заметим, что W(0) = К = bm/an. Это значит, что К есть коэффициент усиления на нулевой частоте -"постоянном токе".
Итак, любая Wi (р) может быть одного из следующих видов:
К - Усилительное звено.
p - Дифференцирующее звено.
1/p - Интегрирующее звено (интегратор).
K/(Tp+1) - Инерционное (апериодическое) звено.
K/(T2p+2dTp+1) - Колебательное звено.
K(Tp+1) - Форсирующее звено.
K(T2p+2dTp+1) - Форсирующее звено 2-го порядка.
Замечание:
форсирующее звено (4) является комбинацией (суммой) усилителя и дифференциатора;
звенья (2), (6), (7) не является в строгом смысле реализуемыми.