3. Ортогональные (прямоугольные) проекции точки. Эпюр Монжа

Изложенный французским ученым Г. Монжем в 1795 г. метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций обеспечил точность и удобную измеримость изображений, т. е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. На практике при изображении различных геометрических объектов, для более полного представления о их формах и размерах, используют третью – профильную – плоскость проекций W, расположенную перпендикулярно к H и V.

Рассмотрим прямоугольное проецирование точки А в системе трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций (рис. 4): горизонтальной Н (П₁), фронтальной V (П₂) и профильной W (П₃). В пространстве эти плоскости образуют восемь трехгранных углов, называемых октантами. Линии пересечения соответствующих плоскостей проекций V, H, W называются осями проекций X, Y, Z. Каждый трехгранный угол (октант) ограничен полами плоскостей проекций, а каждая пола плоскости проекций – соответствующими осями.

Рекомендуется сделать макет октантов из какого-либо материала (плотной бумаги, картона и пр.), применив разную окраску плоскостей проекций. Необходимо внимательно разобраться в пространственной модели плоскостей проекций (рис. 4) и запомнить расположение октантов, какими полами они ограничены.

Например, октант І ограничен верхней левой полой плоскости проекций V, передней левой полой плоскости проекций Н и передней верхней полой плоскости проекций W; октант VІІ ограничен задней правой полой плоскости проекций Н, нижней правой полой плоскости проекций V и задней нижней полой плоскости проекций W.

Например, над горизонтальной плоскостью проекций находятся І, ІІ, V, VІ октанты, справа от профильной плоскости проекций находятся октанты V, VІ, VІІ, VІІІ.

Желательно несколько раз правильно вычертить пространственную модель октантов.

Рис. 4. Пространственная модель октантов:

проецирование точки А

Положение точки А в пространстве определяется расстоянием ее от плоскостей проекций H, V, W. Для определения этих расстояний через точку А следует провести проецирующие лучи, перпендикулярные к плоскостям проекций, определить точки встречи этих лучей с плоскостями проекций. Полученные изображения являются проекциями данной точки: горизонтальной проекцией «а», фронтальной проекцией «а′», профильной «а′′» (рис. 4).

Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что при его переносе на лист бумаги, на плоскостях H и W происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры. Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета используется эпюр Монжа (франц. epure – чертеж).

Для получения плоской модели плоскостей проекций необходимо преобразовать пространственную модель октантов так (см. стрелки на рис. 4), что фронтальная плоскость проекций V остается в первоначальном положении, а горизонтальная плоскость проекций Н, передняя ее пола, вращаясь вокруг оси Х, откидывается вниз до совмещения с нижней полой плоскости проекций V. Профильная плоскость проекций W, передняя ее пола, вращаясь вокруг оси Z, уходит вправо до совмещения с правой полой плоскости проекций V.

Плоскости проекций являются жесткими, их деление на полы осями X, Y, Z условно, следовательно, при поворотах задняя пола плоскости проекций Н совмещается с верхней полой плоскости проекций V, а задняя пола плоскости проекций W уходит влево, совмещаясь с левой полой плоскости проекций V (рис. 4). Проекции а, а′, а′′ связаны между собой линиями связи – проекциями проецирующих лучей, исходящих из точки А.

При вращении плоскостей проекций каждая линия связи с соответствующей проекцией точки займет определенное положение относительно осей проекций. Рассматривая параллелепипед проецирования и эпюр Монжа (рис. 4 и 5) делаем выводы, что:

1. фронтальная а′ и горизонтальная а проекции точки А лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси Х;

2. фронтальная а′ и профильная а′′ проекции точки А лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси Z;

3. удаление профильной проекции а′′ точки А от оси Z равно удалению горизонтальной проекции этой точки от оси Х.

Эти три положения справедливы для точки, лежащей в любом из восьми октантов. Так как плоскости не имеют границ, то в совмещенном положении (на эпюре) эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение пол плоскостей проекций. Тогда в окончательном виде эпюр Монжа, заменяющий чертеж пространственного макета, примет вид, показанный на рис. 5.

Рассмотрим несколько задач на построение заданных точек на эпюре Монжа.

Задача. Построить проекции произвольных точек В и С, находящихся во ІІ и V октантах.

Решение. Точка В:

Рассматривая точку В во ІІ октанте (рис. 6а), отмечаем, что при преобразовании его в плоскую модель фронтальная и горизонтальная проекции точки будут находиться выше оси Х, а профильная проекция точки В будет располагаться по линии связи слева от оси Z.

Порядок выполнения графической части задачи (рис. 6б):

1. На оси Х слева от точки О берем произвольную точку b_Х.

2. Через точку b_Х проводим линию связи перпендикулярно оси Х.

3. На линии связи (выше оси Х) произвольно отмечаем точки b и b′.

4. Строим луч [b′) ‌‌⊥ Z и отмечаем точку b_Z.

5. От точки b_Z влево на линии связи отмечаем точку b′′, причем [b′′b_X] = [bb_X].

6. Анализ расположения точки В относительно плоскостей проекций: точка В ближе к плоскости проекций Н, т. к. |b_X | < |b′_X|.

7. Рекомендуется рассмотреть различные комбинации расположения проекций b и b′: проекции b и b′ совпадают, проекция b выше точки b′.

Рис. 5. Эпюр Монжа точки А в І октанте

а

б

Рис. 6. Точка В во ІІ октанте:

а – точка В в пространственной модели; б – точка В на эпюре Монжа

Точка С:

Рассматриваем точку С в V октанте (рис. 7а). Линии связи с проекциями точек с′ и с′′ будут располагаться при совмещении плоскостей проекций V и W справа от оси Z. Горизонтальная проекция точки С будет находиться ниже оси Х, т. к. плоскость проекций Н при повороте откидывается вниз.

Рассматриваем точку С в V октанте (рис. 7а). Линии связи с проекциями точек с′ и с′′ будут располагаться при совмещении плоскостей проекций V и W справа от оси Z. Горизонтальная проекция С будет находиться ниже оси Х, т. к. плоскость проекций Н при повороте откидывается вниз.

Построение проекций точки С (рис. 7б):

1. На оси Х вправо от точки О произвольно отмечаем току с_X.

2. Через точку с_X проводим линию связи перпендикулярно оси Х.

3. На линии связи произвольно отмечаем точку с′ (выше оси Х) и точку с (ниже оси Х).

4. Строим [с′) ⊥ Z и на луче строим точку с′′ (справа от оси Z), причем |с′′с_Z| = |cc_X|.

5. Анализ: точка С отстоит дальше от плоскости проекций V, т. к. |с, Х | > |с′, Х|.

а

б

Рис. 7. Точка С в V октанте:

а – точка С в пространственной модели; б – точка С на эпюре Монжа