Геометрические знаки

А, В, С, … – точки пространства;

a, b, c, … – обозначение точек и прямых на координатных плоскостях;

(АВ) – прямая, проходящая через точки А и В (заданная точками А и В);

[АВ) – луч с началом в точке А и проходящий через точку В;

[АВ] – отрезок прямой, ограниченный точками А и В;

|АВ| – расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

H, V, W, … – обозначение плоскостей проекций;

(АВС) – плоскость, заданная точками А, В, С;

∠ABC, ∠B – обозначение угла;

|A, H| – расстояние от точки до плоскости;

∠α – угол наклона заданной прямой или плоскости к горизонтальной плоскости проекций;

∠β – угол наклона заданной прямой или плоскости к фронтальной плоскости проекций;

∠γ – угол наклона заданной прямой или плоскости к профильной плоскости проекций.

Знаки, обозначающие взаимное расположение объектов

⊥ – знак перпендикулярности;

|| – знак параллельности;

≡ – знак совпадения (тождества);

∩ – знак пересечения двух геометрических элементов;

= – знак результата геометрического построения;

∠ – знак угла;

∟ – знак прямого угла;

Δ – знак треугольника;

∈ – знак принадлежности одного геометрического элемента другому;

A ∈ (ВС) – точка А принадлежит прямой ВС;

С – знак включения, А ∈ Н – прямая А принадлежит плоскости Н;

∩ – знак пересечения, А ∩ Н – прямая А пересекает плоскость Н;

=> – импликация – логическое следствие; означает «если, то …».

1. Точка

1. Метод проекций

В основе правил построения изображений лежит метод проекций. Суть метода заключается в том, что каждой точке трехмерного пространства соответствует определенная точка двухмерного пространства плоскости. Изучение его начинают с построений проекций точки, т. к. любой геометрический объект может рассматриваться как множество точек, заданных по определенному закону. Этот геометрический объект отображается на плоскость по закону проецирования. Процесс отображения называется проецированием. Результатом такого отображения является изображение объекта, которое называется проекцией.

Для построения проекции геометрического объекта задают аппарат проецирования, в который входит объект проецирования, например, точка А, и плоскость проецирования Р (иногда ее называют картинной плоскостью), не проходящая через точку А (рис. 1). Для получения изображения точки А на плоскость Р через нее проводят проецирующий луч до его пересечения с плоскостью Р в точке а. Полученную точку а называют проекцией точки А. Проекция (лат. projectio – выбрасывание вперед).

Рис. 1. Проецирование точки А

2. Виды проецирования

1. Центральное проецирование

Задан аппарат проецирования: центр проекций S, плоскость проецирования Р.

В результате центрального проецирования на плоскости Р получится центральная проекция любого геометрического объекта. На рис. 2 показано построение центральной проекции отрезка АВ. Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой S (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Таким образом получаем на плоскости перспективное изображение предмета или центральную проекцию.

Свойства центральных проекций:

– проекция точки – точка;

– проекция прямой – прямая;

– если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

2. Параллельное проецирование – частный случай центрального проецирования, когда центр проецирования бесконечно удален. Поэтому в аппарат проецирования входит: направление проецирования S и плоскость проецирования Р. При этом проецирующие лучи рассматривают как прямые, параллельные между собой и параллельные заданному направлению проецирования S (рис. 3).

Рис. 2. Центральное проецирование отрезка АВ

а

б

Рис. 3. Параллельное проецирование:

а – косоугольное отрезка АВ; б – ортогональное точки А

В зависимости от направления проецирования параллельные проекции могу быть:

– ортогональными (прямоугольными) проекциями – проекционные лучи падают перпендикулярно к картинной плоскости Р (рис. 3б);

– косоугольная проекция – проекционные лучи падают не перпендикулярно к картинной плоскости Р (рис. 3а).

Свойства параллельных проекций:

– проекция точки – точка;

– проекция прямой – прямая;

– если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции этой же прямой;

– проекции параллельных прямых параллельны;

– отношение отрезков прямой равно отношению их проекций.

Ортогональное проецирование имеет ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным проецированием:

– простота построений изображения геометрического объекта;

– точность – сохранение точных форм и размеров проецируемой фигуры на чертеже;

– наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме геометрического объекта;

– обратимость – возможность восстановления оригинала по проекционным изображениям геометрического объекта.