2.6. Поверхностные интегралы второго рода
Определение. Гладкая поверхность в трехмерном пространстве называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается в первоначальное положение. Выбор определенной стороны поверхности, то есть выбор направления нормали к поверхности, называется ориентацией поверхности.
Пусть в декартовой
системе координат задана кусочно гладкая
двусторонняя поверхность
и на ней определена непрерывная функция
.
В каждой точке двусторонней поверхности
можно выбрать два взаимно противоположных
направления нормали к поверхности.
Будем называть верхней стороной
поверхности ту сторону, для которой
нормаль составляет острый угол с осью
и нижней стороной поверхности, если
этот угол тупой. Рассмотрим разбиение
поверхности
на непересекающиеся части
.
Обозначим через
- площади проекций этих частей на
плоскость
.
Выберем произвольно в каждой из частей
точку
,
и составим интегральную сумму
,
причем площадь проекции
берем со знаком
,
если проектируется верхняя сторона
поверхности и со знаком
,
если проектируется нижняя сторона
поверхности. Обозначим через
.
Определение.
Если существует предел последовательности
интегральных сумм
при
,
при произвольном разбиении поверхности
на части
и произвольном выборе точек
,
то этот предел называется поверхностным
интегралом 2-го рода от
функции
по поверхности
и обозначается
,
то есть
Отметим, что если
- верхняя сторона поверхности
,
а
- ее нижняя сторона, то
Проектируя части поверхности на две другие координатные плоскости можно аналогично определить поверхностные интегралы второго рода
от непрерывных
функций
и
.
Сумма указанных трех поверхностных
интегралов 2-го рода называется
поверхностным
интегралом 2-го рода общего вида
и обозначается
В обозначении поверхностного интеграла 2-го рода не указано по какой стороне поверхности его следует вычислять, это надо указывать особо.
2.6.1. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода
Справедливо равенство
здесь - направляющие косинусы вектора нормали к той стороне поверхности , по которой вычисляется поверхностный интеграл 2-го рода стоящий слева. Если в поверхностном интеграле 2-го рода изменить сторону поверхности, по которой выполняется интегрирование, на противоположную, то он изменит знак по определению, а поверхностный интеграл 1-го рода, стоящий справа, изменит знак в силу того, что направляющие косинусы нормали ( ) поменяют знак.
Поверхностный интеграл 1-го рода в правой части равенства можно записать компактно в векторной форме
где
- векторное поле, определенное на
,
- единичный вектор нормали к поверхности
.
Таким образом,
вычисление поверхностного интеграла
2-го рода сводится к вычислению
поверхностного интеграла 1-го рода,
который в свою очередь сводится к
двойному интегралу. Если поверхность
задана уравнением
,
то единичный вектор нормали к ней
определяется равенством
Выбор определенного знака в этих формулах и определяет выбор определенной стороны поверхности.
Если поверхность
задана уравнением
,
то его можно записать в виде
(то есть
)
и
В этих формулах
знак
соответствует нижней стороне поверхности
(
).
Если поверхность можно взаимно однозначно спроектировать на все три координатных плоскости, то вычисление поверхностного интеграла 2-го рода можно свести к вычислению трех двойных интегралов
где
- проекции поверхности
на соответствующие координатные
плоскости;
- уравнения поверхности
,
разрешенные относительно соответствующих
координат. Знак
перед двойными интегралами берется,
если поверхностный интеграл вычисляется
по верхней стороне поверхности
,
знак
- если по нижней стороне поверхности.
Пример.
Вычислить интеграл
,
где
- внешняя сторона эллипсоида
Решение. Разобьем
поверхность
на две части
и
,
обе эти поверхности взаимно однозначно
проектируются на плоскость
,
причем их проекция есть
.
Так как интеграл вычисляется по внешней
стороне поверхности
,
то нормаль к поверхности
будет составлять острый угол с осью
,
а нормаль к поверхности
- тупой. Следовательно, мы должны вычислить
интеграл по верхней стороне поверхности
и по нижней стороне поверхности
.
Тогда
и
Мы вычислили объем
эллипсоида.
Ответ:
