2.4.1. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
Если в области
выражение
есть полный дифференциал некоторой
функции
,
то
то
есть значение интеграла определяется
только начальной и конечной точками
дуги
,
следовательно, его можно вычислять по
любой кривой, соединяющей точки
и
и целиком лежащей в области
.
Если интеграл вычисляется по замкнутой
кривой, то в этом случае он равен нулю
где
- замкнутая кривая и
в замкнутой области, ограниченной кривой
.
Укажем необходимые и достаточные условия того, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции:
Отметим, что в
фигурной скобке каждое последующее
равенство получается из предыдущего
путем циклической перестановки букв
и
соответственно. Справедливо также
условие
2.5. Поверхностные интегралы первого рода
Пусть
- функция, заданная в точках некоторой
гладкой поверхности
.
Рассмотрим разбиение поверхности
на непересекающиеся части
с площадями
и диаметрами
соответственно (диаметром области
называется максимальное из расстояний
между двумя любыми точками области).
Выберем произвольно в каждой из частей
точку
,
и составим сумму
,
которая называется интегральной суммой.
Обозначим через
.
Определение.
Если существует предел последовательности
интегральных сумм
при
,
при произвольном разбиении поверхности
на части
и произвольном выборе точек
,
то этот предел называется поверхностным
интегралом 1-го рода от функции
по поверхности
и обозначается
,
то есть
Если функция непрерывна, то интеграл существует. Свойства поверхностного интеграла первого рода (линейность, аддитивность и т.д.) аналогичны свойствам криволинейного интеграла первого рода.
Для вычисления поверхностного интеграла 1-го рода надо аналитически задать поверхность и найти взаимно-однозначную проекцию поверхности на одну из координатных плоскостей (если это невыполнимо, то поверхность следует разбить на части).
Если поверхность
задана функцией
(
- проекция поверхности
на плоскость
),
причем
непрерывна вместе со своими частными
производными
,
то поверхностный интеграл сводится к
двойному с помощью формулы:
,
где
- угол, который нормаль к поверхности
составляет с осью
.
Аналогичные формулы справедливы, если
поверхность проектируется на другие
координатные плоскости, например: если
,
то
,
здесь
- угол, который нормаль к поверхности
составляет с осью
.
Пример.
Вычислить
,
где
сфера
Решение. В силу
симметрии относительно координатных
плоскостей поверхности
и подынтегральной функции можно вычислить
значение интеграла при условии
(то есть по части поверхности
,
расположенной в первом октанте) и
умножить результат на 8. Спроектируем
выбранную часть поверхности на плоскость
,
получим
.
Далее имеем
,
тогда
.
Подставляя найденные выражения в формулу
вычисления поверхностного интеграла,
получим:
.
Для вычисления двойного интеграла
перейдем к полярным координатам:
Ответ:
