2.3. Криволинейные интегралы первого рода

Пусть в декартовой системе координат задана дуга гладкой кривой и в точках дуги определена функция . Разобьем дугу точками и в каждой частичной дуге выберем произвольно точку . Обозначим через длину частичной дуги , составим интегральную сумму .

Определение. Если существует предел последовательности интегральных сумм при , который не зависит ни от способа разбиения дуги точками , ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции по кривой и обозначается через

( - дифференциал длины дуги), то есть

.

Отметим, что величина криволинейного интеграла 1-го рода не зависит от того, в каком направлении проходится дуга , поскольку при составлении интегральной суммы мы умножали значения функции на длины частичных дуг. Свойства криволинейного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла и интеграл существует, если функция непрерывна на .

Для вычисления криволинейного интеграла первого рода надо параметрически задать кривую и свести его вычисление к вычислению определенного интеграла Если плоская кривая задана непрерывно дифференцируемой функцией , то

Если плоская кривая задана полярным уравнением , то

Пример 1.

Вычислить криволинейный интеграл где - дуга параболы , заключенная между точками (2,2) и (8,4).

Решение. Найдем дифференциал дуги для кривой . Имеем , . Следовательно, данный интеграл равен

Ответ:

Пример 2.

Вычислить криволинейный интеграл , где - окружность, со смещенным по оси центром, .

Решение. Введем полярные координаты . Тогда, поскольку , уравнение окружности примет вид , то есть , а дифференциал дуги . При этом . Следовательно, .

Ответ:

2.4. Криволинейные интегралы второго рода

Пусть в декартовой системе координат задана дуга гладкой кривой и в точках дуги определена функция . Разобьем дугу точками и в каждой частичной дуге выберем произвольно точку . Обозначим через проекцию этой дуги на ось , составим интегральную сумму .

Определение. Если существует предел последовательности интегральных сумм при , который не зависит ни от способа разбиения дуги точками , ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции по координате и обозначается через

то есть

.

Аналогично определяются криволинейные интегралы 2-го рода по координатам и обозначаются

,

где - непрерывные функции. Сумма криволинейных интегралов называется криволинейным интегралом второго рода общего вида и обозначается

Криволинейный интеграл 2-го рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. В частности,

то есть криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак при изменении направления интегрирования или изменении направления обхода контура.

Для вычисления криволинейного интеграла надо параметрически задать кривую и перейти к определенному интегралу

Пример.

Вычислить где - дуга винтовой линии при изменении от 0 до .

Решение. Найдем дифференциалы переменных: , . Выразим подынтегральное выражение через , сводя исходный интеграл к определенному:

Ответ: