1.3. Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и физики

1.3.1. Приложения двойных интегралов

С помощью двойного интеграла можно вычислять некоторые физические и геометрические величины:

• Площадь плоской фигуры D может быть вычислена по формуле

(13).

• Объем V цилиндра, ограниченного поверхностью , плоскостью и цилиндрической поверхностью, у которой образующая параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D, вычисляется по формуле

(14).

• Масса плоской фигуры D с плотностью ( - масса на единицу площади) вычисляется по формуле

(15).

• Статические моменты М_х и М_y относительно осей Ox и Oy выражаются двойными интегралами

(16).

• Координаты центра масс и плоской фигуры находятся по формулам

(17).

• Моменты инерции I_x, I_y плоской фигуры относительно осей Ох и Oy находятся по формулам

(18).

• Момент инерции плоской фигуры относительно начала координат находится по формуле

(19).

Пример.

Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми .

Решение. Построим заданную фигуру на плоскости xOy (Рис. 17).

Рис. 17

Фигура ограничена параболой , проходящей через начало координат с осью симметрии Ох, и прямой y=x. Координаты центра масс вычисляются по формулам , где

Область D можно задать системой неравенств . Так как фигура однородная, то положим γ(x,y)=1. Следовательно, масса фигуры m равна

.

Статические моменты М_х и М_y относительно осей Ох и Oy, соответственно, равны

. Таким образом, .

Ответ:

1.3.2. Приложения тройных интегралов

С помощью тройных интегралов можно вычислить ряд геометрических и физических величин:

• Объем V пространственной области Т вычисляется по формуле

; (20).

• Масса m тела с переменной плотностью (масса на единицу объема) вычисляется по формуле

(21).

• Статические моменты тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

(22),

(23),

(24).

• Координаты центра масс тела вычисляются по формулам

(25).

• Моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz и начала координат ( ) вычисляются по формулам

(26),

(27),

(28),

(30).

Пример.

Найти массу пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями, если ее плотность в каждой точке равна абсциссе этой точки.

Решение. Масса тела вычисляется по формуле . Так как плотность пирамиды в каждой точке равна абсциссе этой точке, то .

Изобразим тело Т на чертеже (Рис. 18). Границами тела являются плоскость и координатные плоскости .

Рис. 18

Рис. 19

Так как область интегрирования Т ограничена сверху поверхностью , снизу , и проекцию области Т на плоскость xOy (Рис. 19) можно задать неравенствами

Следовательно,

.

Ответ: