Филиал «CЕВМАШВТУЗ» государственного образовательного учреждения высшего образования «Северный Арктический Федеральный университет»

в г. Северодвинске

А.Д. Романов, О.Д. Агибалова

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ.

Учебное пособие

для студентов заочного отделения

(I I I-й семестр)

Северодвинск

Севмашвтуз

2006

УДК 512

Оглавление

Введение………………………………………………………………………….…4

1. Кратные интегралы……………………………………………………………....5

1.1. Двойной интеграл………………………………………………………………5

1.1.1. Свойства двойного интеграла……………………………………………5

1.1.2. Вычисление двойного интеграла………………………………………...6

1.1.3. Криволинейные координаты. Замена переменных в двойном

интеграле…………………………………………………………………...8

1.2. Тройной интеграл……………………………………………………………...11

1.2.1. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе

координат…………………………………………………………………12

1.2.2. Криволинейные координаты в пространстве. Замена переменных в

тройном интеграле……………………………………………………….13

1.3. Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и

физики………………………………………………………………………….17

1.3.1. Приложения двойных интегралов………………………………………17

1.3.2. Приложения тройных интегралов………………………………………19

2. Векторный анализ……………………………………………………………….22

2.1. Скалярное поле………………………………………………………………..22

2.2. Векторное поле………………………………………………………………..24

2.3. Криволинейные интегралы первого рода……………………………………26

2.4. Криволинейные интегралы второго рода……………………………………27

2.4.1. Независимость криволинейного интеграла второго рода от

пути интегрирования……………………………………………………29

2.5. Поверхностные интегралы первого рода…………………………………… 30

2.6. Поверхностные интегралы второго рода……………………………………32

2.6.1. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода……………33

2.7. Циркуляция и поток векторного поля………………………………………..35

2.8. Интегральные теоремы векторного анализа…………………………………36

3. Контрольная работа . Задания……………………………………………...37

3.1. Пример выполнения контрольной работы Вариант № 0……………...37

3.2. Варианты заданий контрольной работы ………………………………...42

Рекомендуемая литература………………………………………………………...49

Введение

Данное пособие предназначено для студентов, обучающихся заочно. Пособие разработано в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта данной специальности и содержит те разделы курса математики, которые изучаются, в соответствии с учебной программой, в третьем семестре. В пособии кратко изложены основные теоретические положения интегрального исчислений функций многих переменных, векторного анализа, приведено достаточное количество примеров решения задач. После самостоятельного изучения теоретического материала и приобретения навыков решения задач студенты должны выполнить две контрольные работы. Варианты заданий контрольных работ и примеры их выполнения также приведены в пособии.

Следует отметить, что данное пособие должно рассматриваться лишь как основа для изучения, указанных выше, разделов математики. При самостоятельной работе следует обращаться и к другим источникам, перечень рекомендуемой учебной литературы приведен в конце пособия.

1. Кратные интегралы

1.1. Двойной интеграл

Пусть D замкнутая область на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Oxy. Пусть z и z=f( x, y ) – произвольная функция, определенная и непрерывная в этой области. Разобьем область D на n-непересекающихся областей D_i , площади которых обозначим через . В каждой области D_i возьмем произвольную точку M_i ( x_i, y_i ) и составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой.

Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при и стремлении к нулю максимального из диаметров частичных областей D_i , который не зависит от способа разбиения области на частичные области D_i и выбора точек M_i, то этот предел называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается

, т.е.

Теорема существования двойного интеграла. Если функция непрерывна в области , то двойной интеграл существует.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Рис. 1

Величина двойного интеграла от функции в области равна объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу замкнутой областью плоскости , с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси (Рис.1), т.е. .

В частности, если , то двойной интеграл будет равен площади области D:

.

1. Свойства двойного интеграла

Будем считать, что все интегралы в перечисленных ниже утверждениях существуют.

• Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

, где .

• Если функции и интегрируемы в области , то функция интегрируема в области , причем

.

• Свойство аддитивности. Если область разбить линией на две области и , причем , а - есть линия, их разделяющая (Рис. 2), то

  Рис. 2

• Если функции и непрерывны на области D и всюду в этой области , то

.

• 

Теорема о среднем для двойного интеграла. Если функции и непрерывны в области и хотя бы одна из них знакопостоянна в этой области (пусть ), то найдется точка , такая что справедлива формула