Контрольная работа В-9

Задание №1

В пространстве трех товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен P и доходе Q . Описать его и его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств, изобразите бюджетное множество и его границу графически. В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.

Р=(4,7,3)

Q=84

С помощью обычных неравенств и равенств:

B(P,Q)={(x₁, x₂, x₃):x₁,x₂,x₃ ≥0, 4x₁, 7x₂, 3x₃≤84}

G(P,Q)= )={(x₁, x₂, x₃):x₁,x₂,x₃ ≥0, 4x₁, 7x₂, 3x₃=84}

С помощью векторных неравенств:

B=(P,Q)={X:X≥0, РХ≤84}

G=(P,Q)={X:X≥0, PX=84}

Графическое изображение границ бюджетного множества .

Точки координат рассчитываются по формуле:

Q/P₁ =84/4=21 координата А

Q/P₁ =84/7=12 координата В

Q/P₁ =84/3=28 координата С

V_OABC= S_OAB*|OC|= * * 21 *12 * 28= 1176 (объем бюджетного множества)

Бюджет множества будет тетраэдре АВСО. Треугольник АВС его границы.

Задание №2

Даны зависимости D и предложения S от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

D=500-10р

S=50+5р

Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения:

500-10р=50+5р

15р=450

р=30

Равновесная цена р^*=30 и выручка при равновесной цене

W(p^*)=p^* *D(p^*)=p^**S(p^*)

W(p)=30*(500-10*30)=30*(50+5*30)=6000

max

p*(500-10p) максимум достигается в точке р=25

p*(50+5p) максимум достигается в точке р= -5

Таким образом, максимальная выручка W(25)=6250 достигается не при равновесной цене.

Задание №3

Найти решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры)

Сначала необходимо проверит наличие седловой точки. В данном случае седловой точки нет. Обозначим оптимальную стратегию Первого (), искомую оптимальную стратегию Второго (у, 1-у). Выигрыш Первого есть случайная величина с таким рядом распределения:

W (x,y)	4	-3	-2	4
	ху	Х(1-у)	(1-х)у	(1-х)(1-у)

Находим средний выигрыш за партию Первого- математической ожидание случайной величины W (x,y):

М(х,у)=4ху-3х(1-у)-2(1-х)у+4(1-х)(1-у)= 4ху-3х+3ху-2у+2ху+4-4х-4у+4ху= 13ху-7х-6у+4=13х(у-7/13)-6(у-7/13)+10/13= 13(у-7/13)(х-6/13)+10/13

Для нахождения оптимальных стратегий игроков необходимо чтобы

М(х,у^*)≤М(х^*,у^*)≤М(х^*,у). Это выполняется при х^*=6/13 и у^*=7/13, так как именно в этом случае М(х,7/13)=М(6/13,7/13)=М(6/13, у)=10/13

Следовательно, оптимальная стратегия Первого игрока есть Р^*=(6/13;7/13), второго Q^*=(7/13,6/13). Цена игры по определению равна v=M(P^*,Q^*)=10/13.

Задача №4

Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невырожденных матриц и приближенно) заполнить схему межотраслевого баланса.

Определяем матрицу коэффициентов полных материальных затрат по второму способу, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно. Запишем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка.

Матрица коэффициентов 2-го порядка.

Таким образом матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна.

Определяем матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц (первый способ).

А) находим матрицу (Е-А):

Б) вычисляем определитель этой матрицы:

В) транспортируем матрицу (Е-А):

Г) находим алгебраические дополнения для элемента матрицы (Е-А)’

Таким образом, присоединенная к матрице (Е-А) матрица имеет вид:

Д) используя формулу находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

Элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше соответствующих элементов матриц, рассчитанных по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.

Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х) используя формулу Х=BY.

Определяем элементы первого квадрата материального межотраслевого баланса.

Составляющие третьего квадрата (условно чистая продукция) находится как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадрата.

657,89-(328,91+263,15+131,6)=-65,77

898,76-(89,9+179,75+449,4)=179,71

890-(89+356+89)=356

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1	328,91	89,9	89	150	657,89
2	263,15	179,75	356	100	898,76
3	131,6	449,4	89	220	890
Условно чистая продукция	-65,77	179,71	356	470
Валовая продукция	657,89	898,76	890		2446,65