Добавил:

Oksana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Дискретная математика. Индивидка. Исаева. Заочник.ком.doc

Скачиваний:

Добавлен:

22.06.2014

Размер:

457.22 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Контрольная работа № 1

1. На множестве X = {x | xN, x < 10}, где N – множество натуральных чисел, задано отношение R: «x и y имеют один и тот же остаток при делении на 2» (xX, yX). Докажите, что R – отношение эквивалентности. Определите, на какие классы эквивалентности разбивается множество данным отношением.

Решение:

Отношение рефлексивно, если .

Отношение симметрично, если .

Отношение транзитивно, если .

Отношение является отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Проверим эти свойства для заданного отношения:

Рефлексивность: выполнена – два одинаковых числа дают одинаковый остаток при делении на 2.

Симметричность: выполнена – если х дает такой же остаток при делении на 2, что и у, то и у дает такой же остаток при делении на 2, что и х.

Транзитивность: выполнена - если х дает такой же остаток при делении на 2, что и у, а у - такой же остаток, что и z, то остатки эти одинаковы у всех трех чисел.

Следовательно, заданное отношение является отношением эквивалентности. Очевидно, что множество X = {x | x  N, x < 10} разбивается заданным отношением на два класса (по количеству различных остатков при делении на 2 – 0 и 1: четных и нечетных чисел. К первому классу относятся элементы множества Х: 2, 4, 6 и 8, к второму - элементы множества Х: 1, 3, 5, 7 и 9.

2. Какие из нижеперечисленных отношений являются отношениями порядка, строгого порядка, полного порядка, эквивалентности? Обоснуйте Ваши выводы.

а) «число x больше или равно у» - на множестве R (вещественных чисел).

б) «число х меньше числа у в 2 раза» - на множестве R.

в) «число х делится на число у без остатка» - на множестве R.

г) «х и y - оба учатся в ТУСУРе» - на множестве людей.

д) «х является братом y» - на множестве людей.

е) «окружность х имеет больший радиус, чем окружность у» - на множестве окружностей.

Решение:

Отношение рефлексивно, если .

Отношение антирефлексивно, если .

Отношение симметрично, если .

Отношение антисимметрично, если .

Отношение транзитивно, если .

Отношение является отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношения порядка – отношения, отношения, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности: отношение рефлексивное и транзитивное, но антисимметричное (≤) образует порядок (нестрогий), отношение транзитивное, но антирефлексивное и антисимметричное (<) — строгий порядок.

Рассмотрим свойства заданных отношений:

а) «число x больше или равно у» - на множестве R (вещественных чисел):

- рефлексивно: x≥x,

- антисимметрично: если x≥у и у≥x, то x=у,

- транзитивно: если x≥у и у≥z, то x≥z,

Поскольку любые два элемента R сравнимы, то отношение а) является отношением полного порядка.

б) «число х меньше числа у в 2 раза» - на множестве R.

- антирефлексивно: x=x/2,выполнено только для х=0,

- не является симметричным и не является антисимметричным: если x=у/2, то y≠x/2,

- не является транзитивным: если если x=у/2 и у=z/2, то x≠z/2,

следовательно, отношение б) не является отношением порядка или эквивалентности.

в) «число х делится на число у без остатка» - на множестве R:

Поскольку любое вещественное число х можно разделить на другое отличное от нуля вещественное число и получить вещественное число, то будем считать, что вещественное число х делится на другое вещественное число у без остатка, если частное от их деления является целым числом. Тогда отношение в)

- рефлексивно: любое отличное от нуля вещественное число делится на самого себя без остатка,

- антисимметрично: если x делится нацело на у и у делится нацело на x, то x=у,

- транзитивно: если если x делится нацело на у и у делится нацело на z, то x делится нацело на z,

Поскольку вещественное число можно разделить нацело не на все вещественные числа, то отношение в) является отношением порядка.

г) «х и y - оба учатся в ТУСУРе» - на множестве людей:

- рефлексивно: для любого студента:x и x - оба учатся в ТУСУРе

- симметрично: для любых двух студентов:если x и у - оба учатся в ТУСУРе, то это верно и в другом порядке перечисления студентов,

- транзитивно: для любых трех студентов:если x и у - оба учатся в ТУСУРе, если у и z - оба учатся в ТУСУРе, то и х и z - оба учатся в ТУСУРе.

Следовательно, отношение г) – отношение эквивалентности, разбивающее множество людей на два класса – студентов ТУСУРа и не-студентов ТУСУРа.

д) «х является братом y» - на множестве людей.

- антирефлексивно: никакой человек не является своим братом,

- не является симметричным (достаточно рассмотреть брата и сестру) и не является антисимметричным (достаточно рассмотреть двух братьев),

- транзитивно: если x - брат у и у – брат z, то x – брат z,

следовательно, отношение д) не является отношением порядка или эквивалентности.

е) «окружность х имеет больший радиус, чем окружность у» - на множестве окружностей.

- антирефлексивно: утверждение «окружность х имеет больший радиус, чем ее собственный» абсурдно,

- не является симметричным (если радиус окружности х строго больше радиуса окружности у, то радиус окружности у не может быть строго больше радиуса окружности х) и не является антисимметричным (из-за строгости неравенства),

- транзитивно: если радиус окружности х строго больше радиуса окружности у, а радиус окружности у строго больше радиуса окружности z, т то радиус окружности х строго больше радиуса окружности z, следовательно, отношение е) является отношением полного порядка.

3. На множестве М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} задано отношение x – y  3. Выпишите пары, принадлежащие этому отношению. Определите его свойства.

Решение:

Для перечисления пар, принадлежащих этому отношению, составим таблицу, в которой знаком «+» отметим эти пары:

х	у
х	1	2	3	4	5	6	7	8
1	+	+	+	+
2	+	+	+	+	+
3	+	+	+	+	+	+
4	+	+	+	+	+	+	+
5	+	+	+	+	+	+	+	+
6	+	+	+	+	+	+	+	+
7	+	+	+	+	+	+	+	+
8	+	+	+		+	+	+	+

Отсюда получаем пары, принадлежащие отношению:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (4,7)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (5,7) (5,8)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (6,7) (6,8)

(7,1) (7,2) (7,3) (7,4) (7,5) (7,6) (7,7) (7,8)

(8,1) (8,2) (8,3) (8,4) (8,5) (8,6) (8,7) (8,8)

Определим свойства отношения:

- на диагонали матрицы стоят знаки «+» - - отношение рефлексивно;

- матрица не симметрична относительно главной диагонали – свойство не выполнено - отношение несимметрично;

- матрица имеет знаки «+», симметричные относительно главной диагонали – свойство не выполнено - отношение неантисимметрично;

- пары (1,4) и (4,7) показывают, что отношение нетранзитивно – пара (1,7) не принадлежит этому отношению.

Ответ: отношение – рефлексивное, несимметричное, нетранзитивное.

4. Известно, что из 100 студентов живописью увлекается 16, спортом  59, музыкой  43, живописью и спортом  11, живописью и музыкой  10, спортом и музыкой  31, живописью, спортом и музыкой  5. Определите количество студентов:

а) увлекающихся только живописью;

б) ничем не увлекающихся.

Решение:

Обозначим через U, P, S и М множество всех студентов и студентов, увлекающихся живописью, спортом и музыкой, соответственно. Будем также обозначать через [X] мощность множества Х, т.е. число студентов в нем.

Тогда, по условию, [U] = 100, [P] = 16, [S] = 59, [M] = 43, [P∩S]=11, [P∩M]=10, [S∩M]=31, [P∩S∩M]=5.

Заметим, что если какое-либо множество представлено как объединение взаимно не пересекающихся множеств:

X = X₁ X₂ … X_n

ио верно равенство

[X] = [X₁] + [X₂] + … + [X_n]

a) множество студентов, увлекающихся только живописью – это множество . Найдем его мощность. Для этого запишем:

В правой части этого равенства – непересекающиеся множества. Следовательно, . Поскольку, по условию,,, то отсюда получаем:.

Аналогично можем написать:

→

Таким образом, получили , что означает, что число студентов, которые увлекаются живописью и не увлекаются спортом и музыкой, т.е. увлекаются только живописью, равно 0.