1.6. Движение жидкости и газа в системе «пласт - скважина».

Закон Дарси

Движение жидкости и газа на конкретном участке пористой среды происходит под действием градиента давления. Согласно закону Дарси скорость v движения (фильтрации) жидкости (газа) в пористой среде прямо пропорциональна градиенту давления grad р, т.е. перепаду давления р, приходящемуся на единицу длины пути движения жидкости или газа и направлена в сторону падения давления:

В этой форме записи закона Дарси коэффициент пропорциональности равен подвижности жидкости, т.е. отношению проницаемости k породы к вязкости жидкости .

Скорость фильтрации определяется отношением расхода жидкости , протекающей через образец породы, к площади поперечного сечения образца S, расположенного перпендикулярно к направлению потока:

.

Принимая градиент давления на образце породы длиной L величиной постоянной

,

закон Дарси обычно записывают в виде формулы:

.

Истинная скорость движения жидкости в пористой среде больше скорости фильтрации, так как на самом деле жидкость движется не по всему сечению образца, а лишь по поровым каналам, суммарная площадь которых S₁ меньше общей площади образца S:

Здесь m_дин – динамическая пористость образца породы.

Очевидно, что

т.е. истинная скорость движения жидкости в пористой среде равна отношению скорости фильтрации к динамической пористости коллектора.

При фильтрации через пористую среду газа его объемный расход по длине образца изменяется в связи с уменьшением давления. Среднее давление по длине образца пористой породы принимают равным:

где р₁ и р₂ – соответственно давление газа на границах образца.

Средний объемный расход газа _г при его изотермическом расширении по длине образца можно оценить по формуле, вытекающей из закона Бойля-Мариотта для идеальных газов:

где ₀ – расход газа при атмосферном давлении р_ат.

Закон Дарси при фильтрации газа записывается в виде формулы:

Здесь _г – вязкость газа.

Закон Дарси – основной закон подземной гидродинамики – науки, на которой базируются методы проектирования и контроля процессов разработки нефтяных и газовых месторождений и методы промысловых исследований скважин и пластов.

Производительность скважин.

Формула Дюпюи.

Производительность добывающих нефтяных и газовых скважин характеризуется их дебитом, то есть количеством жидкости или газа, поступающим из них в единицу времени. По формулам Дарси можно рассчитать скорость фильтрации нефти и газа при установившемся плоскопараллельном фильтрационном потоке, когда все частички жидкости (газа) движутся по прямолинейным параллельным траекториям, например, в трубе.

Фильтрация жидкости или газа по пласту в районе расположения скважины в большинстве случаев имеет радиальный или близкий к нему характер; траектории частиц (линии тока) направлены по радиусам окружности, центр которой совпадает с центром скважины (рис. 1.15). Жидкость или газ движутся через ряд концентрически расположенных цилиндрических поверхностей, площадь которых по мере приближения к скважине непрерывно уменьшается.

Если кровля и подошва продуктивного пласта непроницаемы, толщина его постоянна и строение однородно, скорость фильтрации при постоянном расходе жидкости или газа непрерывно возрастает, достигая максимального значения на стенках скважины. Для оценки притока жидкости или газа к отдельным скважинам в этом случае применяют формулы, выведенные на основе закона Дарси для плоскорадиального фильтрационного потока.

При установившемся режиме радиальной фильтрации однородной жидкости для оценки дебита нефтяной скважины применяют формулу Дюпюи:

(1.28)

где _пл - объемный дебит в пластовых условиях, см³/с;  - постоянная величина, равная 3,1415..., k - проницаемость, мкм²; h - толщина пласта, м; р₁ - давление на круговом контуре, имеющем радиус R₁, МПа; р₂ - давление на стенке скважины, МПа; r_с - радиус скважины;  - вязкость жидкости, мПас; символ ln - обозначение натурального логарифма, имеющего основание число е = 2,71828... Связь между натуральными и десятичными логарифмами какого-либо числа выражается соотношением In x = 2,3lg x. Поскольку в формулу Дюпюи входит отношение величин R₁ и r_с, то их можно выразить в любой размерности, одинаковой для R₁ и r_с. Коэффициент 10³ определяется выбором указанных размерностей.

Для расчета объемного дебита скважин по формуле Дюпюи принимают, что давление на стенке скважины равно измеренному забойному давлению р₂ = р_заб, а давление на круговом контуре радиусом R₁ равно пластовому р₁ = р_пл. Учитывая, что при эксплуатации нескольких скважин максимальное давление в пласте имеем примерно в средних точках расстояний между соседними скважинами, принимают R₁ = _ср (_ср - половина среднего расстояния между данной скважиной и соседними). Тогда формулу Дюпюи записывают в следующем виде:

(1.29)

Ошибки в определении _ср вследствие того, что величина входит под знак логарифма, практически несущественно влияет на точность установления объемного дебита _пл.

Объемный и массовый дебиты скважины, измеренные на поверхности, связаны с объемным дебитом в пластовых условиях следующими соотношениями:

Здесь b - объемный коэффициент нефти;  - плотность нефти на поверхности.

Для притока газа формула Дюпюи имеет тот же вид, что и для жидкости:

где _г – объемный дебит скважины при давлении

;

_г – вязкость газа в пластовых условиях.

Для приведения _г к атмосферному давлению р_ат при пластовой температуре пользуются формулой:

(1.30)

где _г – объемный дебит газовой скважины, см³/с; z – коэффициент сверхсжимаемости газа при пластовой температуре Т_пл.

На практике принято дебит газовых скважин измерять в тыс. м³/сут. и приводить его к стандартной температуре (Т_ст = 293 К) и атмосферному давлению (0,1 МПа):

где Т_пл - пластовая температура газа; множитель 11,57 = 10⁶ : 86400 (10⁶ - количество см³/в 1 м³; 86400 – время (секунды в сутках).

Приведенные формулы Дюпюи можно использовать для расчета дебита гидродинамически совершенных скважин, стенки которых имеют форму цилиндра с радиусом r_с и высотой h. Причем фильтрация жидкости или газа происходит по всей поверхности этого цилиндра, исключая площадь основания. Для гидродинамически несовершенных скважин радиальный характер линий тока в непосредственной близости от забоя нарушается, и рассчитанный по формуле Дюпюи дебит будет отличаться от действительного дебита скважины. Коэффициент совершенства скважины численно равен отношению дебита несовершенной скважины _н.с. к дебиту , который имела бы при том же перепаде давления р_пл - р_заб совершенная скважина того же радиуса

Для реальных скважин  изменяется в довольно широком диапазоне – от 0,15 до 1 и выше (например, при применении пескоструйной перфорации, торпедировании и т. п.).