Элементы атомной физики и квантовой механики.

Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества. Волна де Бройля. Соотношение неопределенностей. Волновая функция.

Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна Величина

(квадрат модуля -функции) имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с коор­динатами х, у, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама -функция, а квадрат ее модуля ||², которым задается интенсивность волн де Бройля.

Волновая функция имеет статистический, вероят­ностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент време­ни t в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz.

Уравнение Шредингера.

Уравнение Шредингера имеет вид

где , т—масса частицы, —оператор Лапласа

i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний: Движение свободной частицы. U=0 Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками».

В одномерном случае

т.к. (0)=0, то В=0.

Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.

В теории дифференциальных уравнений до­казывается, что уравнение решается только при собственных значениях энергии

E₀=¹/₂ћ₀^.— энергия нулевых колебаний. Различные формы записи уравнения Шредингера.

Квантовая механика

водородоподобных систем.

Полная система квантовых чисел. Принцип Паули. К-, L-, М- оболочки атома. Рентгеновский спектр. Закон Мозли. Энергетический спектр атомов и молекул. Заполнение электронных оболочек и периодическая система элементов.

Решение задачи об энергетических уров­нях электрона для атома водорода сводится к задаче о движении элект­рона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодейст­вия электрона с ядром, обладающим за­рядом 2е (для атома водорода Z=1),

,

где r — расстояние между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией , удов­летворяющей стационарному уравнению Шредингера:

где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме.

1. Энергия. Из уравнения Шредингера

Решение уравне­ния Шредингера для атома водорода при­водит к появлению дискретных энергетиче­ских уровней E₁, E₂, E₃ и т д. Самый нижний уро­вень Е₁— основной,

все осталь­ные (E_n>E₁ n=2, 3, ...) — возбужденные.

Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетиче­ские уровни располагаются теснее и при n= E_=0. При E>0 движение элек­трона является свободным; Энергия ионизации атома водорода равна

E_i=-E₁= те⁴/ (8h²²₀)=13,55 эВ.

1. Квантовые числа. В квантовой ме­ханике доказывается, что уравнению Шре­дингера (223.2) удовлетворяют с n m l(r, , ), определяемые тремя квантовыми числами: главным n,

орбитальным l.

магнитным m_l.

Главное квантовое число n, определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

n=1,2,3, ....

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механиче­ский орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произволь­ным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

где l — орбитальное квантовое число, ко­торое при заданном n принимает значения

l=0, 1, ..., (n-1),

т. е. всего n значений, и определяет мо­мент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор L_e момента им­пульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на направление z внешне­го магнитного поля принимает квантован­ные значения, кратные h

где m_l — магнитное квантовое число,

кото­рое при заданном l может принимать зна­чения

m_l=0, ±1, ±2, ..., ±l,

т. е. всего 2l+1 значений.

Таким образом, магнитное квантовое число m_l определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор мо­мента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентации.

Квантовые числа n и l характеризуют раз­мер и форму электронного облака, а кван­товое число m_l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, ха­рактеризующееся квантовыми числами l=0, называют s-состоянием (электрон в этом состоянии называют s-электроном),

l=1 — р-состоянием,

l=2 — d-состоянием,

l=3 — f-состоянием и т.д.

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитально­го квантового числа. Например, электроны в состояниях n=2 и l=0 и 1 обознача­ются соответственно символами 2s и 2р.

3. Спектр. Квантовые числа n, l и ml позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водоро­да, полученный в теории Бора .

В квантовой механике вводятся прави­ла отбора, ограничивающие число воз­можных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света. Теоретически доказано и экспери­ментально подтверждено, что для дипольного излучения электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие пере­ходы, для которых: 1) изменение орби­тального квантового числа l удовлетво­ряет условию l=±1;