1.8.5 Оценка погрешностей при прямых измерениях

Как правило, при выполнении измерений случайные и систематические погрешности проявляются одновременно, поэтому погрешность измерения равна сумме составляющих систематической и случайной погрешностей. В теории измерений для описания погрешности измерений используют интегральные или дифференциальные функции распределения. Под интегральной функцией распределения результатов измерений понимают вероятность того, что результат измерения в каком-либо опыте окажется меньше некоторого текущего значения. Случайную погрешность рассматривают как случайную величину, принимающую различные значения. Ее интегральную функцию распределения получают путем переноса начала координат в точку равную истинному значению измеряемой величины. Описание результатов измерений и случайных погрешностей выполняют с помощью дифференциальной функции распределения. Она также называется плотностью распределения вероятностей, которая, однако, носит прикладной характер. Графики дифференциальных функций распределения называют также кривыми распределения. В ряде случаев они имеют колоколообразную форму и обладают максимумом при значении равном истинному, или, когда случайная погрешность равна нулю.

Как показывает опыт, наиболее часто результаты реального физического измерения распределены по закону, который может быть аппроксимирован нормальным. Плотность распределения результатов наблюдений (измерений) в этом случае будет зависеть от математического ожидания и дисперсии.

Математическое ожидание представляет значение, относительно которого происходит разброс случайных величин, и является абсциссой оси симметрии кривой нормального распределения.

Дисперсия характеризует разброс случайных величин вокруг математического ожидания.

Если число измерений достаточно велико (т.е. когда оно стремится к бесконечности), то в силу нормальности распределения абсолютные погрешности одинаковой величины, но с разным знаком, встречаются одинаково часто, тогда плотность распределения симметрична относительно математического ожидания. Отсюда следует, что при бесконечно большом числе наблюдений истинное значение измеряемой величины равно среднему арифметическому значению всех результатов наблюдений. Поэтому точечной оценкой истинного значения измеряемой величины в случае нормального распределения является среднее арифметическое. Но на практике число наблюдений не бесконечно. Чем меньше число наблюдений, тем больше величина результата зависит от отдельных результатов наблюдений, но так как результаты наблюдений – случайные величины, то среднее арифметическое по конечному числу наблюдений также будет случайной величиной. Установлено, что из-за случайности средних значений случайными будут и отклонения точечной оценки от истинного значения измеряемой величины. Однако с увеличением числа усредняемых значений влияние величины каждого отдельного наблюдения на среднее значение становится меньше, т. е. оценка измеряемой величины обретает так называемую статистическую устойчивость, а значит, отклонение - оценки от истинного значения меньше зависит от величин отдельных наблюдений. По смыслу отклонение оценки от истинного значения это погрешность, которую мы допускаем, взяв вместо истинного значения его оценку, среднее арифметическое. Эта погрешность, как было уже отмечено, тоже случайная и также описывается нормальным распределением с нулевым средним, но с другой дисперсией. Таким образом, дисперсия среднего из n наблюдений в n раз меньше дисперсии результата наблюдения. Инными словами, если за результат измерения принять единичное наблюдение, то разброс такой оценки будет характеризоваться дисперсией возведенной в квадрат.

Введем понятие доверительного интервала, в который попадает результат с заданной вероятностью. Доверительный интервал это величина не случайная и его можно рассматривать в качестве допустимого значения погрешности измерения величины с заданной вероятностью. Чем больше размер доверительного интервала, тем с большей вероятностью в доверительный интервал попадает значение измеряемой величины. С другой стороны, чем больше разброс, характеризуемый дисперсией распределения оценки, тем меньше доверительная вероятность при том же значении доверительного интервала. Вероятность попадания в интервал равна площади под кривой, и в случае меньшей дисперсии эта площадь больше.

Для определения доверительного интервала вместо неизвестной дисперсиисерии измерений можно подставить ее оценку, полученную по данным наблюдений. Но при малом числе наблюдений оценка сама будет случайной величиной, следовательно, будет случайной величиной и доверительный интервал, а этого не может быть по определению. Поэтому связь между доверительной вероятностью и доверительным интервалом справедлива лишь при известной дисперсии. При неизвестной дисперсии (т.е. в реальном случае, когда число измерений не бывает большим) в расчет вводят специальный коэффициент – коэффициент Стъюдента.

С помощью рапределения Стъюдента устанавливается связь между доверительным интервалом и надежностью, т.е. по заданному значению интервала при данном числе наблюдений можно установить надежность (доверительную вероятность) либо, наоборот, по доверительной вероятности и числу наблюдений находить величину доверительного интервала.

Рассмотрим методику обработки экспериментальных данных полученных при прямых измерениях и подчиненных нормальному распределению. Предположим, что некоторая неизменная величина измеряется с помощью ряда отдельных наблюдений, выполняемых с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях для одного объекта. В итоге получено n результатов, несколько отличающихся друг от друга числовыми значениями: х₁, х₂, х₃…х_n.

Поскольку проводится измерение определенного параметра конкретного объекта, то существует некоторое истинное значение этого параметра, которое невозможно определить из-за погрешности отдельных наблюдений.

Аналогичная совокупность значений х_j может быть получена в результате измерений одного и того же параметра у некоторого количества объектов, которые по идее должны быть абсолютно одинаковы, но в виду погрешностей изготовления, так и измерения, отличаются друг от друга. Отличие этого ряда от предыдущего состоит в том, что истинного значения измеряемого параметра не существует, так как он является математической абстракцией, а каждый объект имеет реальное значение параметра.

Не останавливаясь на выводах, рассмотрим лишь алгоритм и формулы, которые позволяют выполнять статистическую обработку прямых измерений имеющих нормальное распределение.

Статистическую обработку результатов измерений следует выполнять в такой последовательности:

- определить среднее арифметическое;

• найти среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения;

• определить наибольшую возможную ошибку отдельного измерения и убедиться, что среди результатов измерений нет таких, которые отличались бы от среднего арифметического более чем на . Если бы таковые оказались, их следует исключить и начать обработку сначала;

• определить среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического;

• вычислить доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения;

• записать конечный результат измерения.

Исходя из выше сказанного наиболее вероятным значением искомого результата является среднее арифметическое ряда чисел, которое определяют по формуле:

(1.10 )

Далее определяют отклонение от среднего арифметического (х_i –х) для каждого измерения и возводят в квадрат полученные значения, которые суммируют и в результате получают сумму квадратов отдельных отклонений (х_i –х)² . После этого находят наибольшую возможную ошибку измерений по формуле:

, (1.11)

где n – количество проведенных измерений;

х – среднее арифметическое значение полученных результатов;

x_i – исходное значение полученное в результате измерений.

К – коэффициент, который при Р = 0,95 (К=2), при Р = 0,99 ( К=3).

Затем необходимо определить наибольшую возможную ошибку отдельного измерения. Для этого надо, полученные результаты отклонений для каждого измерения сравнить со средне арифметическим . Затем убедиться, что среди этих значений нет таких значений, которые отличались бы в сторону увеличения по абсолютной величине от значения . Если такие значения имеются их исключают и обработку начинают без учета этих чисел, начиная с нахождения среднего арифметического, и т.д.. Если же таковых значений нет, обработку ведут далее.

Следующим шагом будет оценка квадратического отклонения результата измерения. Среднее квадратическое отклонение результата измерения оценивают по формуле:

, (1.12)

где S(A) - оценка среднего квадратического отклонения результата измерения;

А - результата измерения (среднее арифметическое результатов измерений);

X_i - исходное значение полученное в результате измерений;

n - количество проведенных измерений.

После этого вычисляют доверительные границы случайной погрешности результата измерения. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения устанавливают для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению. Когда условие не выполняется, то методы вычисления доверительного интервала случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.

Если заранее известно, что результаты наблюдений подлежат нормальному распределению, доверительные границы (без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле:

, (1.13)

где t_s – коэффициент Стьюдента, который выбирается исходя из выбранной доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдений.

В качестве примера приведена таблица 1.2 с указанием нескольких значений коэффициента Стъюдента для различных значений доверительных вероятностей.

Результат прямого измерения записывается согласно требованиям, которые изложены в ГОСТ 8.011-72. Полученный результат технического измерения (как производственного, так и лабораторного) обычно представляется в форме:

, (1.14)

где А – наиболее вероятное значение результата измерения (А );

- доверительная граница погрешности измерения.

Таблица 1.2 – Значения коэффициента Стьюдента

n-1	Р
	0,95	0,99	0,999
1 2 3	12,706 4,303 3,182	63,657 9,925 5,841	636,619 31,598 12,941
4 5 6	2,776 2,571 2,447	4,604 4,032 3,707	8,610 6,859 5,959
7 8 9	2,365 2,306 2,262	3,499 3,355 3,250	5,405 5,041 4,781
10 11 12	2,28 2,201 2,179	3,169 3,106 3,055	4,587 4,437 4,318

Таким образом, результат измерения является указанием некоторой зоны (между значениями А - и А + ), внутри которого (можно утверждать с вероятностью Р) находится истинное значение измеряемой величины. Для технических измерений вероятность Р обычно выбирают равной 0,95, поэтому полная форма записи результата следующая:

; Р = 0,95 (1.15)

Такая запись приемлема в тех случаях, когда есть основание считать, что рассматриваемая совокупность результатов наблюдений принадлежит к генеральной, распределенной по закону Гаусса.

В окончательной записи результата измерения доверительную границу принято выражать числом с одной значащей цифрой (если первая значащая цифра равна 1, то указывают и вторую).

Округление результата измерения А должно оканчиваться десятичным знаком того же разряда, которым оканчивается и значение (например, 25,3 0,5; 7,60 0,03; 32 ·10³ 10³).

Пример. Четырехкратное взвешивание слитка из драгоценного металла дало следующие результаты: 5,870; 5,872; 5,868; 5,869 г. Определить массу слитка, считая, что результаты измерений имеют нормальное распределение и для расчета выбран доверительный интервал ( Р = 0,95).

Находим среднее арифметическое:

х = 23,479 / 4 = 5,869

Далее по формуле (1.11) вычисляем наибольшую возможную ошибку отдельных наблюдений:

= 2 = 0,011

Сопоставляя значение с цифрами 3-го столбца, видим, что нет ни одного значения, которое по абсолютной величине превышало бы . Поэтому все значения принимаем для дальнейшего расчета и по формуле (1.12)

вычисляем среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического:

S(A) =

Таблица 1.3 – Результаты обработки измерений

Номер измерения	xi	xi -x	(xi –x)2
1	2	3	4
1	5,870	+0,001	0,000001
2	5,872	+0,003	0,000009
3	5,868	-0,001	0,000001
4	5,869	0	0
итого	23,479		0,0000011

Далее по формуле (1.13) определяем доверительные границы результата измерения при Р =0,95 и количестве замеров равным четырем. Выбранный из таблицы 1.2 коэффициент Стъюдента при указанных условиях будет равен 3,182. Тогда значение равно:

= 0,001 3,182 = 0,003

Окончательный результат обработки:

(5,869 +0,003 ) г при Р=0,95.