1. Дифференциальное уравнение

Математически линейный процесс описывается функцией, которая является решением дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим некоторый затухающий процесс. В технических системах ках правило колебания затухающие вследствие потерь энергии (рис. 1). Если потери малы, то они создаются искуственно, например с помощью демпферов. Такой вид движения отображаюся двумя экспонентами:

Рис. 1 – Затухающие колебания при наличии потерь

Если система содержит множество взаимосвязанных элементов и внутри нее происходит обмен энергией между ее элементами, то при преобразовании одного вида энергии в другой движение становится более сложным и появляются производные болеее высокого порядка. Это связано с тем, что фундаментальные физические законы, по которым происходят эти преобразования математически выражаются через производные. В общем случае свободное движение линейной системы описывается уравнением вида:

Это есть обыкновенное ЛДУ с постоянными коэффициентами. Решение такого уравнения - сумма экспонент:

где – корни уравнения; амплитуды составляющих.

Из сказанного выше следует важный вывод: Дифференциальное уравнение является исходной, первичной математической формой описания линейных систем, а его решением является линейная комбинация экспонент.

2. Математические модели систем

Основной задачей теории управления является определение реакции системы на управляющий сигнал и иные внешние вздействия. Математическая модель дожна позволять найти зависимтость выходного параметра Y от входного X. В реальности кроме управляющего сигнала на систему воздействуют иные внешние факторы, например полезная нагрузка и помехи. В математическом смысле они также являются входными. Кроме основной регулируемой величины Y нужно знать иные необходимые для нормального функционирования величины, например параметры, характеризуюшие состояние агрегатов: температуру, механические нагрузки и т. д. С учетом этого систему называют многоканальной или многомерной, и по каждому из каналов будет своя математическая модель (рис. 3).

Важнейшим свойством системы является ее управляемость. Для строгого математического определения управляемости используется аппарат матричной алгебры. Физически термин управляемоть означает возможность перевода объекта из любого начального сосотяния (режима работы) в любое конечное состояние за конечное время путем приложения допустимого управления Кроме того объект должен быть наблюдаем. Этот термин означает возможность определения начального состояния объекта по разультатам наблюдения за его выходом на конечном интервале времени. Ненаблюдаемый объект не может быть идентифицирован.

3. Суть метода переменных состояний

Метод переменных состояний является наиболее мощным и универсальным аппаратом современной теории управления. Основная его ценность в том, что он учитывет и внутреннюю структуру системы и условия ее работы. Не менее важным является то, что результаты представляются в форме наиболее легкой для человеческого восприятия – в виде развития процессов во времени. Чтобы однозначно определить поведение системы в любой момент времени необходимо знать: свойства системы; внешнее воздействие; текущее состояние системы.

Состояние системы – совокупность таких параметров, значения которых наряду с входными воздействиями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволит определить её будущее состояние и выходные величины.

Переменные состояния – описывают будущие состояния системы, если известно текущее состояние системы, внешние воздействия и уравнение динамики системы.

«Недостатком» метода является то, что его применение требует серьезной математической подготовки – знания матричного исчисления, теории графов и ряда других достаточно сложных разделов математики. Данный метод применяется для сложных систем высокого порядка, когда применение других методов нецелесообразно или невозможно. Поэтому отметим только наиболее общие подходы к его применению.

При наличии внешнего воздействия u(t) уравнением динамики является неоднородное дифференциальное уравнение:

Сокращенно система уравнений первого прядка записывается в матричной форме:

где X – вектор-столбец переменных состояния; V – вектор-столбец внешних воздействий; А – основная матрица коэффициентов а, отображающая внутренние свойства системы; B – матрица коэффициентов в, отображающая связи между входами системы и переменными состояния.

Полная модель в пространстве состояний содержит еще одно уравнение – уравнение выхода, которое показывает как формируется выходной сигнал объекта

где С – матрица выхода по состоянию; D – матрица выхода по управлению.