Розділ 2. Показники варіації

2.1. Середні величини та медіана

Одним з найважливіших статистичних параметрів є значення середньої величини. Воно відображує найбільш типове значення для ознаки. Втім, середня величина – це абстрактний показник. Часто вона набуває значень, які можуть жодного разу не зустрітись серед вихідних спостережень. Наприклад, уявімо вибірку з чотирьох рослин, які мають довжину стебла: 2, 4, 6 та 8 см. Середнє арифметичне буде дорівнювати 5 см – значенню, яке було відсутнє у вибірці. Варіація ознаки завжди має певні межі. Не виключено, що всі рослини даного виду, у певному віці, за відсутності хвороб і впливу довкілля мають довжину стебла не менше 2 см і не більше 8 см. Середнє з цих двох крайніх значень буде так само становити 5 см. Отже, на основі середньої величини можна міркувати не тільки про властивості окремої вибірки, але і про генеральну сукупність. Розрізняють декілька типів середніх величин: середню арифметичну, середню геометричну, середню квадратичну, середню кубічну і середню гармонійну. Загальна формула для обчислень більшості середніх величин наступна:

(1),

де – значення варіанти, n – кількість варіант. Значення m вказує на тип середньої: якщо m = +1, то обчислюється середня арифметична величина; –1 – середня гармонійна; +2 – середня квадратична; +3 – середня кубічна величина.

У більшості досліджень використовується середня арифметична величина, яка може бути простою або зваженою.

Просту середню арифметичну величину отримують шляхом додавання всіх отриманих значень і поділу цієї суми на число значень. Якщо набір з n досліджень змінних «х» зобразити як «х₁, х₂, х₃, ..., х_n», то формула для обчислення простої середньої арифметичної величини « » (її також позначають як «М_х») буде мати наступний вигляд:

= (2)

Можна знайти інші математичні записи цієї формули:

= (3)

або = (4),

або = (5),

де n – число досліджень, Σ – сума значень варіант, і – порядковий номер значення, х_і – певне значення у вибірці.

Приклад 4. Потрібно обчислити середнє арифметичне значення активності ферменту супероксиддисмутази в зябрах карася сріблястого, коли були отримані наступні дані: 54,3; 68,2; 55,6; 60,0; 51,4 (Од/мг білка).

Для цього використаємо формулу (2):

= (Од/мг білка).

Зважену середню арифметичну величину використовують у тих випадках, коли варіаційний ряд є досить великим (n > 30) і окремі його значення повторюються, а також тоді, коли треба об’єднати середні арифметичні декількох груп. У першому випадку для обчислення зваженої середньої використовують наступну формулу:

= (6),

де х_і – значення варіанти, f_і – частота варіант по окремих класах.

Приклад 5. Експериментально визначали плодючість дафній і отримали наступні значення: 8, 11, 23, 9, 8, 12, 17, 13, 13, 8, 11, 23, 11, 8, 16, 23, 20, 21, 21, 9, 11, 17 та 13 нащадків. За формулою (6) можна отримати зважену середню арифметичну величину плодючості дафній:

=

(особин).

Середня арифметична кількох однорідних груп обчислюється за подібною формулою:

= (7),

де n_i – кількість значень в кожній з груп, які об’єднуються.

Приклад 6. Вміст гемоглобіну в крові дорослих чоловіків (n₁ = 30) дорівнював 69,8%. Цей показник для іншої групи чоловіків того ж віку (n₂ = 20) склав 64,9%. Потрібно визначити середню арифметичну величину з цих двох середніх. Для вибірок однакового розміру (n₁ = n₂) = (69,8 + 64,9)/2 = 67,4 %. Якщо розмір однієї вибірки становить 30, а іншої – 20 осіб, то в такому випадку використовується формула (7):

= %.

Формула зваженої середньої використовується не тільки для полегшення обрахунків при повторюваності варіант або об’єднання середніх, а також для обчислення середніх у тих випадках, коли кожний результат не є рівнозначним і залежить від якоїсь умови (ваги).

Приклад 7. Плодові мушки не вилуплюються з лялечок одночасно. Вилуплення займає декілька днів. Так, на дев’ятий день після відкладення яєць у пробірці вилупилось 2 особини, на десятий – 6, на 11-ий – 10, на 12-ий – 16, на 13-ий – 11, на 14-ий – 5, на 15-ий – 2. Порахуємо зважене середнє, використовуючи як х_і – кількість особин, які вилупились за певний день, а як n_i – день від початку відкладання яєць:

= .

В даному випадку значення зваженої середньої буде вказувати на день, коли вилупилась найбільше особин.

Іншою важливою величиною, яка характеризує вибірку, є медіана (Ме). Медіаною називають значення x_i, розміщене посередині ряду значень, що розставлені в порядку від найменшого до найбільшого. Такий ряд інакше називається варіаційним. Так, якщо всі отримані в ході експерименту значення в дослідній групі виписати в ряд у порядку їх збільшення, то медіаною буде вважатись те значення, яке стоїть в цьому ряді посередині. Порядковий номер, або ранг значення, яке є медіаною для ряду з непарною кількістю значень можна встановити за формулою:

, (8)

де – і-тий елемент варіаційного ряду.

Так, якщо ми маємо ряд з п’яти значень, розміщених в порядку зростання, то медіаною буде 3-тє за порядком значення. Якщо кількість чисел має парне значення, то медіаною буде середнє арифметичне між значеннями, які мають порядкові номери n/2 та (n + 2)/2. Тобто, половина значень у вибірці буде більша або рівна медіані, а інша – менша або рівна медіані. Медіану використовують замість середньої арифметичної величини в тих випадках, коли варіаційний ряд є асиметричним. Якщо побудувати криву розподілу для групи з таких даних, то її пік буде зміщеним, на відміну від кривої нормального розподілу. Медіану також використовують тоді, коли варіаційний ряд є перервним, а отже дані є дискретними, або тоді коли ми не маємо чіткої «верхньої межі» ряду даних. Наприклад, «плодова мушка виходила з теплової коми впродовж шести і більше хвилин». Зрозуміло, що не має сенсу чекати, доки «оживе» муха, яка, можливо, вже померла. Проте ми можемо просто порахувати кількість тих мух, які «оживали» більше шести хвилин. Середнє значення з таких даних ми порахувати не зможемо, але медіану – так. Нижче розглянемо два приклади обчислення медіан у вибірці:

Приклад 8.

І. Випадок з парним числом значень у вибірці

Припустимо, що ми маємо наступні значення дискретної ознаки:

15, 1, 4, 11, 3, 10, 7, 16, 13, 5, 16, 9, 6, 5.

Цей ряд складається з 14 чисел. Перша дія при обчисленні медіани – ранжування, тобто розміщення значень в порядку зростання:

Номер 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Значення 1, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 16

Медіана буде знаходитись між сьомим та восьмим значеннями (виділені сірим кольором) і чисельно дорівнювати середньому значенню між ними:

Ме = (7 + 9) / 2 = 8

Графічно це буде виглядати наступним чином:

Значення медіани на даному рисунку позначене чорною точкою. Бачимо, що по обидва боки від медіани розміщена однакова кількість даних – по сім значень.

ІІ. Випадок з непарним числом значень у вибірці

Візьмемо іншу вибірку, яка містить наступні значення:

9, 15, 5, 1, 11, 4, 16, 13, 10, 5, 16, 6, 3.

На відміну, від попередньої вибірки, тут ми маємо непарне число значень. Знову розміщуємо значення в порядку зростання:

Номер 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Значення 1, 3, 4, 5, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 16

Медіана дорівнюватиме 9, оскільки саме це значення є центральним у наведеному вище ряді.