matematika экзамен

1.Матрицы.Действия с матрицами.

Матрицы позволяют записать в простой форме значительную часть математ-ого ур-ния

dimA=mxn – размерность матрици(число строк*число столбцов)

Сложение матриц: возможно только,тогда когда совпадает их размерность

A= В= А+В=

Умножение матриц на число:;

Умножение матриц: чтобы умножение АВ было возможным, надо чтобы число столбцов левой матрицы=числу строк правой матрицы, dimA=mxn, то dimB=nxp, где m и p – любые числа , АВ=ВА, но АВВА

А= В=

Вычитание матриц: А= В= А-В=

2.Ступенчатая матрица.

В= - расширенная матрица. Процесс приведения матрицы к ступенчатому виду совпадает с приведением по Гаусу.

Ступенчатой называется матрица , удовлетворяющая следующим условиям:

1)если эта матрица содержит нулевую строку, то все строки расположенные под нею так же нулевые

2)если первый нулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером n,то первый нулевой элемент след.строки должен находится в столбце с номером больше чем n.

3.Определитель матрицы.

Матрицу А можно поставить в соответствующее число :

1)если А=(а), тогда определитель этой матрицы =а

2)если А=, то =

3)А=; ==

4.Миноры и их алгебраические дополнения.

1)Минор- определитель оставшейся части, определитель размерности, который получается вычеркиванием элементов.

А=;

2) Алгебраическое дополнение

Теорема Лапласа: ;

Аналогичное разложение можно производить по элементам любой строки или столбца.

Некоторые св-ва определителя:

1)если матрица содержит нулевую строку или столбец , то ее определитель =0

2)при смене местами двух строк или столбцов определитель меняет знак

3)определитель не меняется, если в строку прибавить любую строку, умноженную на число.

4)если определитель имеет 2 порпорциональные строки или столбца, то он =0

5.Вычисление определителей второго и третьего порядков.

1)чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали. =

2)для вычисления определителей третьего порядка существует:

Правило треугольника:произведение элементов в первом определители берется со знаком +, для второго –со знаком -. =

Правило Саррюса: справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях,ей параллельных, берут со знаком +, а произведения элементов побочной диагонали –со знаком -. =

6.Вычисление определителей разложением по элементам строки или столбца.

1)по элементам строки: определитель матрицы А равен сумме произведений элементов строки на их алгеброическое дополнение

2)по элементам столбца: определитель матрицы А равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраическое дополнение

7.Ранг матрицы. Способы определения ранга.

- называется наивысший порядок минора, содержащегося в матрице отличного от 0. Для того, чтобы определить ранг матрицы,надо все привести к ступенчатому виду

Метод перебора миноров:

1)если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от 0, то ранг матрицы =1(т.к. есть минор первого порядка не равный 0)

2)если все миноры второго порядка равны 0, то ранг матрицы=1

3)если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы = 2.

Элементарные преобразования матрицы(методом Гауса):

1)перестановка местами строк(или столбцов) матрицы;

2)умножение всех элементов какой-либо строки(столбца)матрицы на произвольное число k, отличное от 0.

3)прибавление к элементам какой-либо строки(столбца) соответствующих элементам другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k.

9.Решение систем линейных ур-ний методом Гауса.

- эту систему приводят к виду эквивалентными преобразователями.

0+0+

1)если , то система имеет единственное решение

2)если , то система решений не имеет

3)если , то система имеет множество решений

10.Решение систем ур-ний методом Крамера. – это

Способ решения квадратных систем линейных ур-ний с нулевым определителем основной матрицы.

11.Векторы.Действия с векторами.

1)Сложение векторов

2)Умножение векторов на число λ

3)Вычитание векторов

4)Эквивалентное построение

12.Определение углов между векторами с помощью их скалярного произведения.

Замечание:

3)Сочетания из n по K

Это любой неупорядоченный набор из К различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

15.Элементы комбинаторики: перестановки,размещения,сочетания.

Если в результате опыта могут произойти n равновозможных событий, среди которых m случаев благоприятных событий А, то Р(А)=

1)Перестановки: перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Число различных перестановок из n элементов обозначается

2)Размещение из n по K

Это любой упорядоченный набор из К различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

16. События невозможные, достоверные, случайные. События совместные и несовместные.

1)Достоверные- это событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Пр.:если в сосуде содержится вода при нормальном атмосф. Давлен. И t=20, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» - есть достоверное. Заданные атмосф.давл. и температура воды составляет совокупность условий S.

2)Невозможные –событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S.Пр.:событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет,если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

3)Случайные –событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти,

либо не произойти. Пр.:если брошена монета, то она может упасть так, что будет либо орел, либо решка. Поэтому событие при событие «при бросании монеты выпал орел»- слуайное.

4)Совместные события- события А и В, если в результате испытания они могут наступить вместе. Совместные события содержат в себе общие элементарные исходы.Пр.:выпадение четного числа очков кратного трем, при подбрасывании кубика

5)Несовместные события- события Аи В, если в результате испытания они никогда не могут наступить вместе. Они не содержат в себе общих элементарных исходов. Пр.:выпадение 3и6 при подбрасывании кубика.

17.Классическое определение вероятности события. Геометрические вероятности.

1)Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. Если в результате опыта могут произойти n равновозможных событий, среди которых m случаев благоприятных событий А, то Р(А)=. Пр.:в урне 6бел. И 4 черн.шара.Извлекли 1 шар.Какова вероятн.соб.,что шар белый? N=10,m=6, Р(А)=.

2)Геометрическая вероятность-вероятность попадания точки в область .

Некоторые операции над множителями.

20.Формула полной вероятности.

Пусть события образуют такую группу событий:

18.События зависимые и независимые.Условная вероятность события.

1)Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

2)События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого.

3)Условная вероятность – вероятность одного события В, вычисленная при условии, что событие А произошло.

19.Теоремы умножения и сложения.

1)Теорема о сложении:вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Вероятность суммы совместных событий вичисляется:

2)Теорема умножения:вероятность произведения независимых событий АиВ :

Вероятность произведения зависимых событий А и В:

21.Повторные независимые события.Формула Бернули.

Производится серия из n одинаковых опытов, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью Р. Какова вероятность,что это событие появляется К раз?

Вероятность такого случая=

Число различных расположений

Пр.:Какова вероятность, что при 5 бросаний игральн.костей шестерка выпадет 2 раза?

n=5, K=2, p= , q= .

22.Наивероятнейшее число появлений события

-//-//- (А) в n независимых событий называется такое число для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события (А).

23.Асимптотическая (локальная) формула Лапласа.

Если число n опытов велико,то прибегают к фор-ле Лапласа:

24.Интегральная формула Лапласа.

Когда n, то используется интегральная фор-ла Лапласа для случая

25.Дискретная случайна я величина. Закон распределения вероятностей случайной величины.

В общем случайная величина полностью характеризуется таблицей вида:

Которая называется рядом распределения с.в.,если

Законом распределения с.в. называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

26.Равномерное и биноминальное распределение дискретной случайной величины.

1)Биноминальное распределение: если ряд распределений описывается бернулевской вероятностью, т.е. имеет вид

То говорят что ряд имеет биноминальное распределение.

Бином Ньютона:

2) Равномерное распределение с.в. полностью определяется двумя параметрами: а и в-интервалом, на котором определена с.в .Можно определить параметры а и в равномерного распределения по известным значениям математического ожидания и дисперсии c.в.

27.Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Исходя из ряда распределения случайных величин, определяется числом:

Свойства М(х):

1.М(С)=С, где С- не случайная величина.

Док-во:

2.М(С*Х)=С*М(Х)

Док-во:

3.М(Х*У)=М(Х)*М(У)

Док-во:

4.М(Х+У)=М(Х)+М(У)

Док-во:

28.Дисперсия дискретной случайной величины.Среднее квадратическое отклонение.

1) Дисперсия дискретной случайной величины-называют математическое ожидание квадрата отклонения с.в. от ее математического ожидания.

Свойства :

1.D(C)=0

2.D(CX)=D(X)

3.D(X+Y)=D(X)+D(Y)