2. Полная и приведенная системы вычетов

Определение 3. Полной системой вычетов по mod m называется система чисел взятых по одному из класса по этому модулю.

Например: по mod 6 : 12,-13,2,63,-2,5

Поскольку в ПСВ число вычетов должно равняться числу классов,то класс содержит бесконечное множество вычетов, то можно составить бесчисленное множество различных полных систем вычетов по данному mod m.

a) полная система наименьших неотрицательных вычетов 0,1, …. ,m-1 (в прим.0,1,2,3,4,5)

б) полная система абсолютно наименьших вычетов (составляется из наименьших по абсолютной величине) -2,-1,0,1,2,3

СВОЙСТВА

Теорема 1. Любая совокупность m чисел, попарно несравнимых по mod m есть полная система вычетов по mod m

Теорема 2. Если (a,m)= 1 и х пробегает полную систему вычетов по mod m то числа вида ах+b тоже пробегают полную систему вычетов по mod m (a,b Z)

Все числа одного и того же класса вычетов по mod m имеют с модулем m один и тот же НОД, равный (a,m).

В частности, если одно из чисел класса по mod m взаимно просто с m то и все числа класса взаимно просты с mod m.

Определение 4. Класс вычетов по mod m состоящий из чисел, взаимно простых с mod ,называется примитивным классом.

Для го модуля примитивные классы существуют; такими будут, в часности классы ,

Пример m=6; ,

m=7: , , , , ,

Число примитивных классов по mod m обозначается (m) и называется функцией Эйлера. Так, обратная функция Эйлера определяет число положительных (целых), не превосходящих m и взаимо простых с m (для m>1) (6)=2 ; (7)=6

Если mod—простое число р, то все классы, кроме нулевого, примитивны, так что (p)=p-1

Выберим из примитивного класса по mod m по одному числу, получим привиденную систему вычетов по mod m.

Определение 5. Приведенной системой вычетов по некоторому mod m называется система вычетов, взятых по одному из го примитивного класса по этому модулю приведенную системе вычетов по mod m можно составить из полной системе вычетов по этому модулю, выписав все числа, взаимно простые с mod.

Если в качестве исходной взять полную систему наименьших неотрицательных или абсолютно наименьших вычетов, то указанным способом получим соответственно приведенной систему наименьших неотрицательных или абсолютно наименьших вычетов по mod m.

Теорема 3. совокупность φ(m) чисел (m>1), взаимно простых с mod m, и попарно несравнимых по mod m есть приведенная система вычетов по mod m: а (1)

Теорема 4. Если (a,m)=1 и x прибегает приведенную систему вычетов по mod m, то ах тоже прибегает приведенную систему вычетов по mod m.

3 Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма

Функция Эйлера определяется для всех натуральных чисел и представляет собой число чисел ряда 1,..,а-1, взаимно простых с а.

Найдем формулу для вычисления функции Эйлера.

Теорема.

Если - каноническое разложение числа а, то

Теорема 2.

Пусть р – простое число, , тогда

Теоремы Эйлера и Ферма являются основой всей теории сравнений и находят широкое применение как в теоретических исследованиях, так и в арифметических приложениях.

Пример.

Теорема Эйлера.

Если (a,m)=1 a (I)

Доказательство: Рассмотрим мультипликационную группу классов вычетов, взаимно простых с mod m: Gm.

Эта коммутативная группа содержит элементов. Применим к ней теорему Лагранжа, вернее следствие из этой теоремы.

Порядок элемента конечной коммутативности группы G является делителем порядка этой группы, т.е. если конечная коммутативность группы состоит из элементов, то для элемента этой группы выполниться равенство:

Мы получили, что для класса выполняется равенство или (на языке сравнений)

Особенно простой вид теорема Эйлера принимает в случае, если m=p – простое число. В этом случае φ(p)=p-1, а потому получаем

Теорема Ферма. Если р - простое число, и - целое, неделящеяся на р,

то

( ,p)=1, то (II)

Другая формулировка теоремы Ферма: (Следствие)

Если р – простое число, то для целого имеет место

Действительно,

а) если (а,р)=1 умножим обе части сравнения (II) на , получим

б) если (а,р)≠1, то также на р, т.е.