Пример выполнения работы
Пусть необходимо решить симплекс-методом задачу линейного программирования, заданную в допустимом каноническом виде.
2x1-x3+3x4+x8=1,
x2+3x4=2,
2x1+x7=6,
x3+x6=6,
-2x1+x3-3x4+x5=2,
x1
0,
…,x8
0,
Q=4x1-6x3+9x4+66
min.
Запишем соответствующую симплекс-таблицу, номера базисных переменных – 8, 2, 7, 6, 5, номера свободных переменных – 1, 3, 4:
|
1 |
3 |
4 |
|
|
8 |
2 |
-1 |
3 |
1 |
|
2 |
0 |
0 |
3 |
2 |
|
7 |
2 |
0 |
0 |
6 |
|
6 |
0 |
1 |
0 |
6 |
6 : 1 = 6 |
5 |
-2 |
1 |
-3 |
2 |
2 : 1 = 2 min |
|
4 |
-6 |
9 |
-66 |
|
|
|
min |
|
|
|
1) Выбор разрешающего столбца: имеется
только один отрицательный коэффициент
в целевой функции (-6). Следовательно,
номер разрешающего столбца
.
Разрешающий столбец содержит положительные
элементы (a63=1,
a53=1).
2) Выбор
разрешающей строки: найдем min(6:1,
2:1) =2 (минимум равен b5/a53).
Следовательно, номер разрешающей строки
.
Разрешающий элемент a53=1,
он выделен серым цветом.
3) Замена базиса:
а) в левом столбце новой таблицы на место 5 ставится 3, в верхней строке – вместо 3 запишем 5. Остальные индексы остаются на своих местах.
б) на
место элемента a53=1
в новой таблице пишем элемент
53=1:а53=1:1=1.Затем,
вычисляются новые элементы вместо
элементов разрешающего столбца и строки;
|
1 |
5 |
4 |
|
|
8 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
7 |
|
0 |
|
|
|
6 |
|
-1 |
|
|
|
3 |
-2 |
1 |
-3 |
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
в) пересчитываются остальные элементы симплекс-таблицы. В новой таблице критерий минимальности не выполнен, следовательно, укажем разрешающий элемент.
|
1 |
5 |
4 |
|
|
8 |
0 |
1 |
0 |
3 |
|
2 |
0 |
0 |
3 |
2 |
2:3 min |
7 |
2 |
0 |
0 |
6 |
|
6 |
2 |
-1 |
3 |
4 |
4:3 |
3 |
-2 |
1 |
-3 |
2 |
|
|
-8 |
6 |
-9 |
-54 |
|
|
|
|
min |
|
|
Пока критерий минимальности не выполнен, необходимы дальнейшие замены базисов. Они приводят к следующим таблицам:
|
1 |
5 |
2 |
|
|
8 |
0 |
Ё |
0 |
3 |
|
4 |
0 |
0 |
1/3 |
2/3 |
|
7 |
2 |
0 |
0 |
6 |
6:2 |
6 |
2 |
-1 |
-1 |
2 |
2:2 min |
3 |
-2 |
1 |
1 |
4 |
|
|
-8 |
6 |
3 |
-48 |
|
|
min |
|
|
|
|
|
6 |
5 |
2 |
|
|
8 |
0 |
1 |
0 |
3 |
|
4 |
0 |
0 |
1/3 |
2/3 |
2:1 min |
7 |
-1 |
1 |
1 |
4 |
4:1 |
1 |
½ |
-1/2 |
-1/2 |
1 |
|
3 |
1 |
0 |
0 |
6 |
|
|
4 |
2 |
-1 |
-40 |
|
|
|
|
min |
|
|
|
6 |
5 |
4 |
|
|
8 |
0 |
1 |
0 |
3 |
|
2 |
0 |
0 |
3 |
2 |
|
7 |
-1 |
1 |
-3 |
2 |
|
1 |
½ |
-1/2 |
3/2 |
2 |
|
3 |
1 |
0 |
0 |
6 |
|
|
4 |
2 |
3 |
-38 |
|
В последней таблице все коэффициенты целевой функции неотрицательны. Следовательно, в точке x1=2, x2=2, x3=6, x4=0, x5=0, x6=0, x7=2, x8=3 целевая функция принимает минимальное значение Q0= -(-38)=38, то есть переменным, индекс которых стоит в верхней строке, в базисном решении приписывается значение 0; это свободные переменные. Каждая из переменных, индекс которых стоит в левом столбце, приравнивается к числу, записанному в правом столбце той же самой строки; это базисные переменные.