Ход решения:

1.На прямой l возьмем произвольные точки А (А₁,А₂) и В (В_1,В₂).

2. Через эти точки проведем прямые а и в, параллельные оси цилиндра.

3.Строим линию пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью основания цилиндра. Это прямая линия α₁

4.Строим горизонтальные проекции образующих, которые проходят через горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ точек 1 и 2 пересечения плоскости α с основанием поверхности цилиндра.

5.На пресечении горизонтальных проекций образующих и прямой l находим горизонтальные проекции М₁ и N₁ искомых точек пересечения М и N ,а по ним строим фронтальные проекции М₂ и N₂ этих точек .

6.Определяем видимость прямой l . Между полученными точками прямая всегда невидима. Видимость точек М и N определяем по видимости образующих, на которых находятся эти точки.

Рис.78

Задача 7. Построить линию пересечения плоскости δ(f∩h) c поверхностью пирамиды (рис.79).

Линия пересечения в данном случае - замкнутая ломаная линия. Для ее построения необходимо найти точки пересечения ребер ТA, ТB, ТC с заданной плоскостью.

Ход решения:

1.Чтобы найти точку М, в которой ребро ТA пирамиды пересекает плоскость δ(f∩h), надо через ребро ТA провести вспомогательную плоскость α┴П₂.Затем построить линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной (это прямая 1-2). Прямая 1-2 пересекается с ребром ТA в точке М (М₁,М₂).

2.Аналогично определены точки N и L, в которых ребра ТB, ТC пересекают плоскость δ(f∩h).

3.Полученные точки М, N и L соединяем отрезками прямых с учетом видимости. Видимость устанавливаем по видимости граней пирамиды.

Рис.79

Задача 8 . Построить линию пересечения цилиндра с плоскостью общего положения α( f ∩h)(рис.80).

Линией пересечения плоскости общего положения с поверхностью цилиндра будет эллипс. Для построения его следует определить точки пересечения образующих цилиндра с плоскостью.

Ход решения:

1.Найдем точки пересечения очерковых образующих с заданной плоскостью α.Для этого через очерковую образующую а проведем вспомогательную плоскость β, построим линию 1-2 пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α.На пересечении прямой 1-2 и образующей а отметим искомую точку А.

2.Аналогично определяем точку В.

3.Для определения горизонтальных проекций образующих с и d опустим перпендикуляры из центра окружности на образующие с₂ и d_2. А затее определим точки С и D пересечения этих образующих с плоскостью α.

4.Точка М получена в результате пересечения произвольной образующей с заданной плоскостью.

5.Полученные точки соединяем с учетом видимости образующих. В касании с очерковыми образующими видимость эллипса меняется на противоположную.

Рис.80

Задача 9. Построить линию пересечения сферы с цилиндром (рис.81).

Цилиндрическая поверхность является фронтально- проецирующей. Следовательно, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальным очерком цилиндра. Остается построить горизонтальную проекцию, исходя из условия принадлежности точек этой линии, поверхности сферы.

Отметим характерные точки – фронтальные проекции точек, лежащих на экваторе сферы – G₂,H₂ , F₂, P₂. Отметим фронтальные проекции M₂, N₂, K₂, L₂, в которых будет меняться видимость линии пересечения. Точки В, С, D, E выбраны произвольно. Горизонтальные проекции точек, принадлежащих поверхности сферы находим при помощи окружностей соответствующего радиуса.

Рис. 81

Соединим полученные точки плавной линией с учетом видимости. Точки, принадлежащие видимой части поверхности цилиндра и сферы относительно горизонтальной плоскости проекций соединяем сплошной линией. В точках М,N,K,L происходит изменение видимости. Определим также видимость горизонтальных очерков цилиндра и сферы (рис.81).