Примеры решения задач Задача 1.

Задача 1а. В плоскости α(а∩в) через точку А провести горизонталь h и через точку В-фронталь f (рис.71а,б).

Прямая принадлежит плоскости ,если она имеет с ней две общие точки или имеет одну общую точку и параллельна прямой этой плоскости.

Ход решения:

1.Найдем фронтальную проекцию точки А. Для этого через горизонтальную проекцию А₁ точки А проведем горизонтальную проекцию1_1-2₁ произвольной прямой 1-2, принадлежащей заданной плоскости α(а∩в). На фронтальной проекции 1₂ -2 ₂прямой 1-2 отметим А₂ . Через фронтальную проекцию А₂ точки А проведем параллельно оси х₁₂ фронтальную проекцию h₂ горизонтали h. Затем через точки3₁и А₁ проведем горизонтальную проекцию горизонтали h₁(рис.71а).

2.Найдем горизонтальную проекцию точки В. Для этого проведем фронтальную проекцию 4₂-5₂ произвольной прямой 4-5,принадлежащей заданной плоскости α(а∩в).На горизонтальной проекции 4₁-5₁ прямой4-5 отметим В₁.Через горизонтальную проекцию В₁ точки В проведем параллельно оси х₁₂ горизонтальную проекцию f₁ фронтали f. Затем через точки В₂ и 6₂ проведем фронтальную проекцию фронтали f₂.

а) б)

Рис. 71

Задача 1б. Построить фронтальную проекцию треугольника АВС, принадлежащего плоскости α(f∩h) (рис.72).

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой принадлежащей этой плоскости. В качестве прямых, принадлежащих плоскости, удобно воспользоваться главными линиями плоскости – горизонталью (h) или фронталью (f).

Ход решения:

1. Построим фронтальную проекцию С₂ . Для этого через горизонтальную проекцию С₁ проведем горизонтальную проекцию фронтали параллельно оси х ₁₂ , построим ее фронтальную проекцию параллельно f₂ и отметим на ней фронтальную проекцию С₂.

Рис.72

2. Аналогично строим фронтальную проекцию В₂.

3. Построим фронтальную проекцию точки А₂. Если горизонтальная проекция точки А₁ принадлежит горизонтальной проекции прямой h₁, то фронтальная проекция А₂ находится на h₂ .

4. Соединим А₂В₂С₂ и получим недостающую фронтальную проекцию треугольника АВС (рис.72).

Задача 2. Построить линию пересечения ΔАВС и ΔDEF(рис.73).

Чтобы построить линию пересечения двух треугольников, необходимо найти точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью.

Ход решения:

1.Находим точку пересечения стороны ВС с плоскостью ΔDEF.Для этого через прямую ВС проведем вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость α.Строим линию 1-2 пересечения вспомогательной плоскости α с ΔDEF и отметим на пересечении с ВС искомую точку М.

2.Аналогичным образом, через прямую DE проведем фронтально-проецирующую плоскость β. Строим линию 3-4 пересечения плоскости β с ΔDEF и отметим на пересечении с DE искомую точку N.

3.Прямая М N искомой линией пересечения плоскостей двух треугольников.

4. Определяем видимость треугольников на П₂. Для этого на П₂ сравниваем видимость скрещивающихся прямых ВС и DF. Отметим точки 2∈ВС, 5∈DF. Горизонтальная проекция 2₁ находится перед 5₁ (направление взгляда А) Следовательно, прямая D₂F₂ видима, а часть прямой В₂С₂ до М₂ закрывается.

Определим видимость треугольников на П₁. Для этого сравниваем видимость скрещивающихся прямых DЕ и АС. Отметим точки 6∈ DЕ, 7∈АС. Фронтальная проекция 6₂ находится выше 7₂(направление взгляда Б). Следовательно, D₁E₁ видима до точки N₁, а закрывается часть прямой A₁C₁ .

Рис.73