Тема: популярные направления в анализе временных рядов
Задание: прокомментировать высказывания. Согласны ли вы с ними? Предложить «свои» цитаты, отражающие содержание рассматриваемой темы.
«... следует все-таки признать, что многообразие методов вызывается существом дела – многообразием различных постановок проблемы» (Н.С.Бахвалов).
«Если понятие «приближение» трактовать в широком смысле этого слова, то большая часть методов вычислений окажется элементами теории приближений» (Ю.П.Боглаев).
Невозможно предложить обоснованный алгоритм решения поставленной задачи [интерполирования] для всех функций, поскольку про функцию ничего не известно, кроме ее значений в заданных точках. Однако, предполагая функцию гладкой, мы выводим практический критерий оценки погрешности и, основываясь на нем, строим алгоритм решения.
Задание: составить краткую историческую справку в виде эссе (реферата) на тему «Исторический аспект единообразного представления функций как способ классификации методов».
Помощь: (примерная схема изложения) Задача приближения функции как представление сложной функции более простой или набором простых функций. Приближение функций рядом Тейлора (привязка к одной конкретной точке). Классические методы интерполяции (восстановление функции между узлами) и аппроксимации (замена одной функции другой). Регрессионный анализ – проведение аппроксимации с одновременной статистической обработкой. Гармонический анализ и синтез – аппарат приближения стационарных периодических функций. Представление вейвлетами (класс функций, имеющих вид коротких волн, ограниченных во времени или в пространстве и способных к перемещению и масштабированию) нестационарных периодических функций и функций с локальными особенностями. Современные методы и модели представления сложных функций.
Задание: вопросы для обсуждения проиллюстрировать примерами теоретические положения (указать связь со статистическим анализом и другие междисциплинарные связи).
- Основная цель статистического моделирования – изучение соотношения закономерности и случайности в формировании поведения исследуемой системы с оценкой количественной меры их влияния.
- Проблема глобальной интерполяций (что случается, если все множество данных включается в одну полиномиальную функцию).
Помощь:
А) классический
пример Рунге – интерполирование функции
на интервале
при равномерном распределении абсцисс
(например, полиномами пятой и десятой
степени);
Б) совпадение значений в узлах иногда может вовсе не означать совпадения характеров поведения исходной и интерполирующей функций (приведите пример);
В) требование совпадения значений в узлах является некорректным в условиях, когда значения исходной функции получены в результате измерений и являются сомнительными (приведите пример).
- Разнообразие методов аналитической параметризации регрессии. Значения параметров определяются из условия минимума меры отклонения, что обеспечивает «лучшее совпадение» экспериментальных и «теоретических» данных. Проиллюстрировать, выбрав в качестве меры отклонения: сумму всех отклонений, сумму модулей отклонений, сумму квадратов отклонений. Привести примеры практического применения различных способов параметризации.
- Основные проблемы Фурье-преобразований: зеркальный эффект, «вынужденная» периодичность, неразличимость суммы сигналов от последовательности тех же сигналов.
Например (неразличимость суммы сигналов от последовательности тех же сигналов):
Сумма тестовых сигналов
x(t)=cos(w1t)+cos(w2t)+cos(w3t)+cos(w4t)
Последовательность тестовых сигналов
x1(t)=cos(w1t), x2(t)=cos(w2t), x3(t)=cos(w3t) и x4(t)=cos(w4t)
Спектрограммы тестовых сигналов
Задание:
- Содержательно прокомментировать различия Фурье-преобразования и вейвлет-преобразования (примеры + рисунки):
С помощью вейвлетов сигнал представляется совокупностью волновых пакетов, разной в разных частях временного интервала определения сигнала, поэтому представляет последний различной степенью детальности.
Представление сигнала путем вейвлет-декомпозиции
Фурье-преобразование использует в качестве базисных функций синусоиды. Они предельно локализованы в частотной области, но не локализованы во временной области.
Представление сигнала путем Фурье-декомпозиции
Прокомментировать рисунок (Д. Ландэ):
