Транспортная задача

Одной из первых задач оптимизации, для которой удалось найти простое и красивое математическое решение является задача оптимизации затрат на перевозки – транспортная задача. Сформулируем ее простейший вариант:

У нас есть сеть магазинов и несколько складов, на которых храниться товар (рис. 2.4). Нам нужно завести товар со складов в магазины так, чтобы суммарные затраты на транспортировку были минимальные. Мы можем привезти товар с любого склада в любой магазин. Будем считать, что запасов товаров на всех складах ровно столько, сколько требуется всем магазинам. Такая транспортная задача называется замкнутой.

При планировании перевозок нам следует помнить что:

• затраты на перевозку с ближайшего склада будут меньше, чем с далекого;

• запасов товара, хранящегося на складе, может не хватить для полного удовлетворения потребностей ближайших магазинов.

Так или иначе, нам придется завозить товар из других складов. Как сократить затраты на перевозку?

.

Рис. 2.4 Сеть магазинов и складов

Посторенние модели

В нашей модели имеются два типа объектов: товарные склады S_i (i=1...n) и магазины M_j (j=1...m). Каждый склад будет характеризоваться одним параметром: запасами товара (Sv_i). Каждый магазин характеризуется потребностью товара (Mp_j). Каждая пара склад-магазин характеризуется затратами на перевозку единицы товара с данного склада в данный магазин (T).

Мы можем рассчитать затраты на доставку товара в данный магазин (Mc_j) по формуле:

(2.6)

где: – затраты на доставку товара в j-тый магазин;

– объем товара, привезенного из i-того склада в j-тый магазин;

– плановые затраты на перевозку единицы товара с i-того склада в j-тый магазин.

Полные затраты на перевозку (C_T) будут равняться сумме затрат по всем магазинам:

(2.7)

Если потребность магазина удовлетворена полностью, то:

(2.8)

Мы не можем взять со склада товара, больше чем его имеется на этом складе, следовательно:

(2.9)

Было бы странно возить товар не со склада в магазин, а обратно. В нашей модели запрет неразумных перевозок выразится требованием положительности всех объемов товара, вывезенных со складов:

Для всех i и j: (2.10)

Если наш товар штучный (например, холодильники), мы не можем вывести со склада полхолодильника. Поэтому, потребуем, чтобы объемы вывезенных товаров выражались целыми числами:

Для всех i и j: - целые числа

Для замкнутой транспортной задачи суммарный запас товаров на складе равен суммарной потребности магазинов.

(2.11)

Математическая постановка задачи

Требуется минимизировать затраты на перевозку товаров из торговых складов в магазины. Известны:

• потребности каждого магазина в товаре;

• запасы товара на каждом складе;

• затраты на перевозку единицы товара с каждого склада в каждый магазин.

Суммарные запасы товара на складах равны суммарной потребности магазинов.

Необходимо определить объемы перевозок между каждым складом и магазином, то есть подобрать такие целые и неотрицательные числа чтобы при соблюдении ограничений суммарные затраты на перевозку были минимальными:

(2.12)

Табличная модель

Составим план перевозок в виде таблицы Excel (рис. 2

Исходные данные приведены в трех таблицах. Ячейки, в которые вводятся исходные числа, выделены светло-голубым цветом. Данные, которые вычисляет компьютер, (например, суммарный запас товаров на складе) выделены синим шрифтом.

	B	C	D	E	F	G	H	I	J
4		Таблица 1							Таблица 2
5	Склады	Объем товара на складе, шт		Потребности магазинов в товаре
6				Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3	Магазин 4	Магазин 5	Всего
7	№1	300		100	150	150	200	100	700
8	№2	150
9	№3	150
10	№4	100
11	Итого:	700

	B	C	D	E	F	G	H
13	Стоимость перевозок ед. товара с каждого склада в каждый магазин						Таблица 3
14	склады	Магазины
15		Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3	Магазин 4	Магазин 5
15	№1	10	20	30	50	40
17	№2	20	10	20	40	30
18	№3	30	20	10	30	30
19	№4	40	30	20	20	40

Рис.2.2. Исходные данные

Составим модель перевозок. Для этого построим таблицу 4 (рис. 2.3). В столбце B запишем названия складов, а в строке 23 – названия магазинов. В ячейках C25:G28 (выделены светло-зеленым) будем записывать объемы перевозок (V_ij) со складов в магазины. Например, в ячейке С25 –объем перевозки с первого склада в первый магазин. Чтобы модель была наглядной, в ячейках C24:G24 вычислим объемы неудовлетворенных потребностей (Mn_j) для каждого магазина по формулам:

(2.13)

где суммирование ведется по всем складам.

	B	C	D	E	F	G	H	I
22		План перевозок					Таблица 4
23	Склад	магазин №1	магазин №2	магазин №3	магазин №4	магазин №5	Объем товара на складе
24		0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	Отгружено	Остаток
25	№1	100	150	50	0	0	300	0
26	№2	0	0	100	50	0	150	0
27	№3	0	0	0	150	0	150	0
28	№4	0	0	0	0	100	100	0
29	Затраты	1000	3000	3500	6500	4000	18000

Рис. 2.3 Модель перевозок

В строке 29 с помощью функции СУММПРОИЗВ() вычислим затраты на доставку товаров в каждый магазин (C_j) по формуле:

(2.14)

Общие затраты вычислим в ячейке H29 как сумму затрат на доставку товаров в каждый магазин:

(2.15)

Все ограничения задачи сведем в таблицу (рис. 4). В троках 32:36 в столбце В вычислим суммы товаров, привезенных в каждый магазин, а в столбце С – потребности этого магазина. Аналогично, в строках 37-40 в столбце В запишем объемы товара, вывезенные с каждого склада, а в столбце С – исходные запасы товаров на складах.

	B	C	D	E	F	G	H
31	Ограничения
32	100	100	Магазин 1	Количество товара, поступившего в каждый магазин равно потребности этого магазина
33	150	150	Магазин 2
34	150	150	Магазин 3
35	200	200	Магазин 4
36	100	100	Магазин 5
37	300	300	Склад №1	Количество товара, отправленного с каждого склада равно запасу этого склада
38	150	150	Склад №2
39	150	150	Склад №3
40	100	100	Склад №4

Рис. 2.4 Таблица ограничений

Теперь у нас все готово для поиска решения.

Попробуем вручную найти допустимое решение транспортной задачи вручную. Введем в ячейки C25:G28 значения объемов перевозок. При этом необходимо следить за тем, чтобы объемы неудовлетворенных потребностей (записанные в ячейках C24:G24) уменьшались до нуля. В ячейке H29 вычисляется общая сумма затрат на транспортировку. Изменим объемы перевозок, но так, чтобы ограничения остались выполненными. Мы получили новое допустимое решение. Как при этом изменились общие затраты? Таким путем можно улучшать решение.

Метод «северо-западного угла». Это удобный метод ручного поиска хорошего решения. Выберите левую верхнюю ячейку (северо-западный угол) в таблице перевозок. В нашем случае это ячейка С25 соответствует перевозки с первого склада в первый магазин. Постарайтесь удовлетворить потребность первого магазина только с первого склада. Если это получится (запасы на складе превышают потребность магазина) постарайтесь обеспечить с первого склада второй магазин и так далее, до полного исчерпывания запаса первого склада. Покончив с первым складом, также распределите запасы второго и остальных складов. Если все делалось верно, Вы получили допустимое решение. Запишите сумму затрат на перевозку, соответствующую этому решению.

Как улучшить решение? В матрице плановых затрат (Таблица 3) найдите самую дорогостоящую перевозку. В Вашем плане она использовалась? Попробуйте сократить ее объем, за счет перевозки в данный магазин из более удобного склада. При этом возникшие недостатки и избытки товара компенсируете за счет изменения объемов перевозок с других складов и в другие магазины. Добейтесь наименьшей суммы транспортных затрат.