Нахождение цены товара, приносящей максимальную прибыль

Небольшое частное кондитерское предприятие занимается производством фирменного печенья. Постоянные издержки производства (FC) составляют 20000 руб. в месяц, а средние переменные издержки (AVC) – 12 руб. на один кг произведенной продукции.

Если предприятие будет производить Q кг печенья в месяц, то его общие издержки (TC) составят 20000+12Q руб., а общая выручка (TR) = Q*P руб., где P – цена одного кг печенья (при условии что все произведенное печенье продается). Тогда прибыль предприятия (Pr) составит TR – TC = Q*P – 20000 – 12*Q руб.

С целью получения максимальной прибыли предприятие каждый месяц изменяет цену P и анализирует, как на изменение цены реагирует спрос населения. Сведения о цене и объеме продаж за первые шесть месяцев деятельности предприятия. А также рассчитанные на их основе показатели издержки, выручки и прибыли представлены в таблице, которую необходимо сформировать на рабочем листе Microsoft Excel.

Таблица 1.3

По имеющимся данным требуется определить, по какой цене и в каком объеме следует производить продукцию в июле, чтобы получить наибольшую прибыль.

Спрос (объем проданной продукции) зависит от цены и многих других факторов. Чтобы выделить влияние цены и, по возможности, элиминировать остальные факторы, найдем аналитическую зависимость между спросом населения и ценой на покупаемую продукцию по имеющимся статистическим данным. В экономике такая зависимость называется эластичность рынка. Имеющихся у нас данных хватит только для построения линейного тренда (рис. 1.2.)

Рис.1.2 Линейный тренд эластичности местного рынка печений.

Итак, мы получили теоретическую оценку спроса: Q_T = – 456,65*Р + 15610. Подставляя данное уравнение в уравнение прибыли: PR_T =TR – TC = Q_T*P – 20000 – 12*Q_T, получим теоретическую зависимость прибыли от цены:

PR_T= – 456,65*Р² + 15598*P -12*456,65*Р + 12*15610. - 20000.

Как видно, имеется, квадратичная зависимость прибыли от цены.

При этом, коэффициент при Р² отрицательный. Это значит, что у кривой существует максимум. Найти его можно приравняв первую производную к нулю.

Чтобы графически определить, при какой цене и объемах производства достигается максимальная прибыль, и определить ее значении из графика, и, необходимо воспользоваться мастером диаграмм. Построим точечную диаграмму, значения которой аппроксимируем полиномом 2-й степени по рассмотренной выше технологии. Результат аппроксимации изображен на рис 1.3.

Рис. 1.3. Зависимость теоретической прибыли от цены

Как видно из рис. 1.3, максимальная прибыль Pr*≈36200 руб. достигает при цене P^*≈22,24 руб./кг. Подставляя это значение в формулу теоретического спроса, получаем объем оптимальный производство Q*=5454.1 кг. Для оценки максимальной прибыли подставим в формулу теоретической прибыли, получаем PR_T =36540 руб.

Лекция 2. Линейные задачи оптимизации Задачи линейного программирования

Определение. Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимума (минимума) целевой функции

F(x₁,...x_n) = c₁x₁+...+c_nx_n max (min) (2.1)

при ограничениях в виде неравенств:

(2.2)

или уравнений:

(2.3)

Обычно, из смысла задачи следует, что искомые переменные неотрицательны:

x_j 0, (j = 1, …, n). (2.4)

Определение. Функция (2.1) называется целевой функцией или линейной формой задачи линейного программирования, а условия (2.2) – (2.4) – ограничениями данной задачи.

Определение. Стандартной (симметричной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении экстремального значения целевой функции (2.1) при выполнении условий (2.2) и (2.4).

Определение. Основной (канонической) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении экстремального значения целевой функции (2.1) при выполнении условий (2.3) и (2.4).

Определение. Вектор (совокупность чисел)  = {х₁, х₂, ...., х_n}, удовлетворяющих ограничениям задачи (2.2) – (2.4), называется допустимым решением или планом задачи линейного программирования.

Определение. План Х*= {х₁^*, х₂^*, ...., х_n^*}, при котором целевая функция (2.1) принимает свое оптимальное (минимальное или максимальное) значение, называется оптимальным планом.

Таким образом, линейное программирование является частью математического программирования, особенностью которого является то, что исследуемая целевая функция является линейной: F(x₁,...,x_n) = c₁x₁+...+c_nx_n, а ограничения, накладываемые на переменные, представляют собой линейные уравнения или неравенства.

Если же целевая функция или система ограничений нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования.

Если требуется провести поиск целочисленных значений x_j, то приходим к задаче целочисленного линейного программирования (ЦЛП).